ГЛАВА VII. СТРУКТУРА ЛИНЕЙНОГО ОПЕРАТОРА В n-МЕРНОМ ПРОСТРАНСТВЕ (ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ДЕЛИТЕЛЕЙ)

Изложенная в предыдущей главе аналитическая теория элементарных делителей дала нам возможность для любой квадратной матрицы определить подобную ей матрицу, имеющую «нормальную» или «каноническую» форму. С другой стороны, в главе III мы видели, что поведение линейного оператора в -мерном пространстве в различных базисах задается при помощи класса подобных матриц. Наличие в этом классе матрицы, имеющей нормальную форму, тесно связано с важными и глубокими свойствами линейного оператора в -мерном пространстве. Изучению этих свойств посвящена настоящая глава. Исследование структуры линейного оператора приводит нас независимо от содержания предыдущей главы к теории преобразования матрицы к нормальной форме. Поэтому содержание настоящей главы может быть названо геометрической теорией элементарных делителей.

§ 1. Минимальный многочлен вектора, пространства (относительно заданного линейного оператора)

Рассмотрим -мерное векторное пространство  над полем  и линейный оператор  в этом пространстве.

Пусть  – произвольный вектор из . Составим ряд векторов

.            (1)

В силу конечномерности пространства найдется такое целое число  , что векторы  линейно независимы, а  есть линейная комбинация этих векторов с коэффициентами из поля :

.                     (2)

Составим многочлен . Тогда равенство (2) запишется так:

.                (3)

Всякий многочлен , для которого имеет место равенство (3), мы будем называть аннулирующим многочленом для вектора . Но нетрудно видеть, что из всех аннулирующих многочленов для вектора  построенный нами многочлен является аннулирующим многочленом наименьшей степени со старшим коэффициентом 1. Такой многочлен мы будем называть минимальным аннулирующим многочленом вектора  или просто минимальным многочленом вектора .

Заметим, что произвольный аннулирующий многочлен  вектора  делится нацело на минимальный многочлен .

В самом деле, пусть

,              (4)

где  – частное и остаток от деления  на . Тогда

             (5)

и, следовательно,

.               (6)

Но степень остатка  должна быть меньше степени минимального многочлена . Значит, .

Из доказанного предложения следует, в частности, что каждому вектору  отвечает только один минимальный многочлен.

Выберем в пространстве  некоторый базис . Обозначим через  минимальные многочлены базисных векторов , а через  – наименьшее общее кратное этих многочленов ( берем со старшим коэффициентом 1). Тогда  будет аннулирующим многочленом для всех базисных векторов . Так как произвольный вектор  представляется в виде , то

,

т. е.

.                  (7)

Многочлен  является аннулирующим многочленом для всего пространства . Пусть  – произвольный аннулирующий многочлен для всего пространства . Тогда  будет аннулирующим многочленом для базисных векторов . Следовательно,  должен быть общим кратным для минимальных многочленов  этих векторов, и потому многочлен  должен делиться на наименьшее общее кратное  без остатка. Отсюда следует, что из всех аннулирующих многочленов для всего пространства  построенный нами многочлен  имеет наименьшую степень и старший коэффициент 1. Такой многочлен однозначно определяется заданием пространства  и оператора  и называется минимальным многочленом пространства . Единственность минимального многочлена пространства  следует из установленного выше положения: произвольный аннулирующий многочлен  пространства  делится нацело на минимальный многочлен . Хотя само построение минимального многочлена  было связано с определенным базисом , однако многочлен  не зависит от выбора этого базиса (это вытекает из единственности минимального многочлена для пространства ).

Наконец, отметим еще, что минимальный многочлен пространства  является аннулирующим для любого вектора  из , и потому минимальный многочлен пространства делится без остатка на минимальный многочлен любого вектора из этого пространства.