§ 2. Расщепление на инвариантные подпространства с взаимно простыми минимальными многочленами

Подпространство  называется инвариантным относительно данного оператора , если , т. е. из  следует . Другими словами, оператор  переводит векторы инвариантного подпространства снова в векторы этого же подпространства.

В дальнейшем мы будем производить расщепление всего пространства (см. гл. III, § 1) на инвариантные относительно  подпространства. Такое расщепление сводит изучение поведения оператора во всем пространстве к изучению его поведения в отдельных составляющих подпространствах.

Докажем теперь следующую теорему:

Теорема 1 (1-я теорема о расщеплении пространства на инвариантные подпространства). Если для данного линейного оператора  минимальный многочлен пространства  представляется в поле  в виде произведения двух взаимно простых многочленов  и  (со старшими коэффициентам, равными единице),

,                       (8)

то все пространство  расщепляется на два инвариантных подпространства  и ,

,                (9)

для которых минимальными многочленами служат соответственно множители  и .

Доказательство. Обозначим через  совокупность всех векторов , удовлетворяющих уравнению . Аналогично определим  с помощью уравнения . Определенные таким образом  и  суть подпространства в .

Из взаимной простоты  и  вытекает существование таких многочленов  и  (с коэффициентами из ), что имеет место тождество

.                  (10)

Пусть теперь  – произвольный вектор из . Заменим в (10)  на  и применим обе части полученного операторного равенства к вектору :

,                      (11)

т. е.

,                 (12)

где

,             .             (13)

Далее,

, ,

т. е.  и .

 и  не имеют общих векторов, отличных от нуля. Действительно, если  и , т. е.  и , то в силу (11)

.

Таким образом, доказано, что .

Пусть, далее, . Тогда . Помножая обе части этого равенства слева на  и переставляя местами  и , получим , т. е. . Этим доказано, что подпространство  инвариантно относительно . Аналогично доказывается инвариантность подпространства .

Докажем теперь, что  есть минимальный многочлен для . Пусть – произвольный аннулирующий многочлен для , а  – произвольный вектор из . Используя уже установленное разложение (12), напишем:

.

Поскольку  – произвольный вектор из , то отсюда вытекает, что произведение  есть аннулирующий многочлен для  и потому делится без остатка на ; другими словами,  делится на . Но  – произвольный аннулирующий многочлен для , a  – один из аннулирующих многочленов (в силу определения ). Значит,  есть минимальный многочлен для . Совершенно аналогично доказывается, что  есть минимальный многочлен для инвариантного подпространства .

Теорема доказана полностью.

Разложим многочлен  на неприводимые в поле  множители:

                (14)

(здесь  – различные неприводимые в  многочлены со старшими коэффициентами 1). Тогда на основании доказанной теоремы

,               (15)

где  – инвариантное подпространство с минимальным многочленом  .

Таким образом, доказанная теорема сводит изучение поведения линейного оператора в произвольном пространстве к изучению поведения этого оператора в пространстве, где минимальный многочлен есть степень неприводимого в  многочлена. Это обстоятельство будет нами использовано для доказательства следующего важного для нас предложения: Теорема 2. В пространстве всегда существует вектор, минимальный многочлен которого совпадает с минимальным многочленом всего пространства.

Доказательство. Рассмотрим сначала тот частный случай, когда минимальный многочлен пространства  есть степень неприводимого в  многочлена :

.

Выберем в  базис . Минимальный многочлен вектора  является делителем многочлена  и поэтому представляется в виде , где  .

Но минимальный многочлен пространства есть наименьшее общее кратное минимальных многочленов базисных векторов, т. е.  совпадает с наибольшей из степеней  . Другими словами,  совпадает с минимальным многочленом одного из базисных векторов .

Переходя к общему случаю, докажем предварительно следующую лемму:

Лемма. Если минимальные многочлены векторов  и  взаимно просты, то минимальный многочлен суммы векторов  равен произведению минимальных многочленов слагаемых векторов.

Доказательство. В самом деле, пусть  и  – минимальные многочлены векторов  и . По условию  и  взаимно просты. Пусть  – произвольный аннулирующий многочлен для вектора . Тогда

,

т. е.  есть аннулирующий многочлен для . Следовательно,  делится без остатка на , и так как  и  взаимно просты, то  делится на . Аналогично доказывается, что  делится на . Но  и  взаимно просты. Следовательно,  делится на произведение . Итак, произвольный аннулирующий многочлен вектора  делится на аннулирующий многочлен . Поэтому  и будет минимальным многочленом вектора .

Вернемся к теореме 2. Для доказательства в общем случае используем расщепление (15). Так как минимальные многочлены подпространств  суть степени неприводимого многочлена, то для этих подпространств наше предложение уже доказано. Поэтому существуют такие векторы , минимальными многочленами которых будут соответственно . В силу леммы минимальный многочлен вектора  равен произведению , т. е. равен минимальному многочлену пространства .