§ 3. Сравнения. Надпространство

Пусть дано некоторое подпространство . Мы будем говорить, что два вектора  из  сравнимы по , и будем писать  в том и только в том случае, если . Легко проверяется, что введенное таким образом понятие сравнения обладает следующими свойствами: для любых .

1.  (рефлективность сравнения).

2. Из  следует  (обратимость или симметричность сравнения).

3. Из  следует  (транзитивность сравнения).

Наличие этих трех свойств сравнения дает нам возможность распределить все векторы пространства на классы, относя в каждый класс векторы, попарно сравнимые между собой по  (векторы из разных классов уже будут несравнимы по ). Класс, содержащий вектор , будем обозначать через . Само подпространство  будет одним из этих классов, а именно, классом . Обратим внимание, что каждому сравнению  отвечает равенство соответствующих классов: .

Элементарно доказывается, что сравнения можно почленно складывать и почленно умножать на число из :

1. Из  следует .

2. Из  следует  .

Это свойства сравнения показывают, что операции сложения и умножения на число из  не «ломают» классов. Если возьмем два класса  и  и будем складывать элементы  первого класса с любыми элементами  второго класса, то все полученные таким образом суммы будут принадлежать одному и тому же классу, который мы назовем суммой классов  и  и обозначим через . Аналогично, если все векторы  класса  умножим на число , то полученные произведения будут принадлежать одному классу, который обозначим через .

Таким образом, в многообразии  всех классов  введены две операции: «сложение» и «умножение» на число из . Эти операции, как легко проверить, обладают свойствами, сформулированными в определении векторного пространства (гл. III, § 1). Поэтому , как и , есть векторное пространство над полем . Мы будем называть  надпространством по отношению к . Если  – числа измерений соответственно пространств , то .

Все введенные в этом параграфе понятия можно очень хорошо проиллюстрировать на следующем примере.

Пример. Пусть  – совокупность всех векторов в трехмерном пространстве,  – поле вещественных чисел. Для большей наглядности будем векторы изображать в виде направленных отрезков с началом в точке . Пусть  – некоторая прямая, проходящая через  (точнее, совокупность векторов, идущих вдоль некоторой прямой, проходящей через ; рис. 4).

Рис. 4.

Сравнение  означает, что векторы  и  отличаются на вектор из , т. е. отрезок, соединяющий концы  и , параллелен прямой . Поэтому класс  изобразится прямой, проходящей через конец вектора  и параллельной , точнее, «щеткой» векторов, исходящих из , концы которых лежат на этой прямой. «Щетки» можно складывать и умножать на вещественное число (складывая и умножая векторы, входящие в эти щетки). Эти «щетки» и являются элементами надпространства . В данном примере .

Другой пример получим, если в качестве  возьмем плоскость, проходящую через точку . В этом примере .

Пусть теперь в  задан линейный оператор . Предположим, что  есть инвариантное подпространство относительно . Читатель легко докажет, что из  следует , т. е. что к обеим частям сравнения можно применять оператор . Другими словами, если ко всем векторам  некоторого класса  применить оператор , то полученные векторы  также принадлежат к одному классу, который мы обозначим через . Линейный оператор  переводит класс в класс и, таким образом, является линейным оператором в .

Мы будем говорить, что векторы  линейно зависимы по , если существуют такие числа  в , не равные одновременно нулю, что

.                   (16)

Заметим, что не только понятие о линейной зависимости векторов, но все понятия, все предложения и рассуждения, приведенные в предыдущих параграфах этой главы, могут быть слово в слово повторены с одной лишь заменой всюду знака  знаком , где  – некоторое фиксированное подпространство, инвариантное относительно .

Таким образом, вводятся понятая аннулирующий, минимальный многочлен вектора, пространства по . Все эти понятия мы будем называть «относительными» в отличие от введенных ранее «абсолютных» понятий (имеющих место при знаке ).

Обратим внимание читателя на то, что относительный минимальный многочлен (вектора, пространства) есть делитель абсолютного. Пусть, например,  есть относительный минимальный многочлен вектора , а  – соответствующий абсолютный минимальный многочлен.

Тогда

;

но отсюда следует, что и

.

Поэтому  является относительным аннулирующим многочленом для вектора  и как таковой делится без остатка на относительный минимальный многочлен .

Наряду с «абсолютными» предложениями предыдущих параграфов мы имеем и «относительные» предложения. Так, например, имеем предложение: «В любом пространстве всегда существует вектор, относительный минимальный многочлен которого совпадает с относительным минимальным многочленом всего пространства».

Справедливость всех «относительных» предложений обусловлена тем, что, оперируя со сравнениями по , мы по существу имеем дело с равенствами, только не в пространстве , а в надпространстве .