§ 4. Расщепление пространства на циклические инвариантные подпространства

Пусть – минимальный многочлен вектора . Тогда векторы

(17)

линейно независимы, а

. (18)

Векторы (17) образуют базис некоторого -мерного подпространства . Это подпространство мы будем называть циклическими, имея в виду специальный характер базиса (17) и равенство (18). Оператор переводит первый из векторов (17) во второй, второй – в третий и т. д. Последний же базисный вектор переводится оператором в линейную комбинацию базисных векторов согласно равенству (18). Таким образом, оператор переводит любой базисный вектор в вектор из ; значит, он и произвольный вектор из переводит в вектор из . Другими словами, циклическое подпространство всегда инвариантно относительно .

Произвольный вектор представляется в виде линейной комбинации базисных векторов (17), т. е. в виде

, (19)

где – многочлен от с коэффициентами из степени . Перебирая всевозможные многочлены степени с коэффициентами из , мы получим все векторы из , и при этом каждый вектор только один раз, т. е. только при одном многочлене . Имея в виду базис (17) либо формулу (19), мы будем говорить, что вектор порождает подпространство .

Заметим еще, что минимальный многочлен порождающего вектора будет одновременно и минимальным многочленом всего подпространства .

Сейчас нам предстоит установить основное предложение всей этой теории, согласно которому пространство расщепляется на циклические подпространства.

Пусть есть минимальный многочлен пространства . Тогда в пространстве существует вектор , для которого этот многочлен является минимальным (теорема 2, стр. 174). Пусть обозначает циклическое подпространство с базисом

. (20)

Если , то . Пусть и пусть многочлен

будет минимальным многочленом по . Согласно замечанию, сделанному в конце § 3, будет делителем , т. е. существует такой многочлен , что

. (21)

Далее, в существует вектор , относительный минимальный многочлен которого есть . Тогда

, (22)

т. е. существует многочлен степени такой, что

. (23)

Применим к обеим частям этого равенства оператор . Тогда слева в силу (21) получим , т. е. нуль, поскольку есть абсолютный минимальный многочлен пространства; следовательно,

. (24)

Это равенство показывает, что произведение является аннулирующим многочленом для вектора и потому делится без остатка на минимальный многочлен , т.е. делится на :

, (25)

где – некоторый многочлен. Используя это разложение многочлена , мы равенство (23) сможем записать так:

, (26)

где вектор определяется равенством

. (27)

Последнее равенство показывает, что

. (28)

Поэтому , будучи относительным минимальным многочленом для вектора , будет таковым и для вектора . Но тогда из равенства (26) следует, что является одновременно и абсолютным минимальным многочленом для вектора .

Из того, что есть абсолютный минимальный многочлен вектора , следует, что подпространство с базисом

(29)

будет циклическим.

Из того, что есть относительный минимальный многочлен для по , вытекает, что векторы (29) линейно независимы по , т. е. никакая линейная комбинация векторов (29) с не равными одновременно нулю коэффициентами не может равняться линейной комбинации векторов (20). Так как эти последние сами линейно независимы, то последнее наше утверждение означает линейную независимость векторов

. (30)

Векторы (30) образуют базис инвариантного подпространства с числом измерений .

Если , то . Если же , то мы рассмотрим по и продолжим далее наш процесс выделения циклических инвариантных подпространств. Так как все пространство конечномерно, имеет измерений, то этот процесс должен приостановиться на некотором подпространстве , где .

Мы приходим к следующей теореме:

Теорема 3 (2-я теорема о расщеплении пространства на инвариантные подпространства). Пространство всегда можно расщепить на циклические относительно данного линейного оператора подпространства с минимальными многочленами ,

(31)

так, чтобы совпадало с минимальным многочленом всего пространства и каждое было бы делителем .

Отметим теперь некоторые свойства циклических пространств. Пусть – циклическое -мерное пространство, – минимальный многочлен этого пространства. Тогда из определения циклического пространства следует, что . Обратно, пусть нам дано произвольное пространство и известно, что . Применяя доказанную теорему о расщеплении, мы представим в виде (31). Но число измерений циклического подпространства равно , так как его минимальный многочлен совпадает с минимальным многочленом всего пространства. Так как по условию , то , т. е. есть циклическое пространство.

Таким образом, установлен следующий критерий цикличности пространства:

Теорема 4. Пространство циклично тогда и только тогда, когда его число измерений совпадает со степенью его минимального многочлена.

Пусть теперь мы имеем расщепление циклического пространства на два инвариантных подпространства и :

. (32)

Обозначим числа измерений пространств и соответственно через и , минимальные многочлены этих пространств – через и , степени этих минимальных многочленов – через и . Тогда

, . (33)

Сложим почленно эти неравенства:

. (34)

Так как есть наименьшее общее кратное многочленов и , то

. (35)

Кроме того, из (32) следует:

. (36)

(34), (35) и (36) дают нам цепочку соотношений

. (37)

Но в силу цикличности пространства крайние числа в этой цепочке, числа и , равны между собой. Следовательно, имеет место равенство и в промежуточных звеньях этой цепочки, т. е.

Из того, что , заключаем, что и взаимно просты.

Из , принимая во внимание (33), находим:

, . (38)

Эти же равенства означают цикличность подпространства и .

Таким образом, мы приходим к следующему предложению:

Теорема 5. Циклическое пространство расщепляется только на такие инвариантные подпространства, которые 1. сами циклические и 2. имеют взаимно простые минимальные многочлены.

Те же рассуждения (проведенные в обратном порядке) показывают, что теорема 5 допускает обращение.

Теорема 6. Если пространство расщепляется на инвариантные подпространства, которые 1. являются циклическими и 2. имеют взаимно простые минимальные многочлены, то само пространство является циклическим.

Пусть теперь – циклическое пространство и минимальный многочлен его есть степень неприводимого в поле многочлена: . В этом случае минимальный многочлен любого инвариантного подпространства в тоже будет степенью этого неприводимого многочлена . Следовательно, минимальные многочлены любых двух инвариантных подпространств не могут быть взаимно простыми. Но тогда в силу доказанного предложения не расщепляется на инвариантные подпространства.

Пусть, обратно, известно, что некоторое пространство не расщепляется на инвариантные подпространства. Тогда – циклическое пространство, иначе его можно было расщепить с помощью второй теоремы о расщеплении на циклические подпространства; кроме того, минимальный многочлен должен быть степенью неприводимого многочлена, так как в противном случае можно было бы расщепить на инвариантные подпространства в силу первой теоремы о расщеплении.

Таким образом, приходим к следующему выводу:

Теорема 7. Пространство не расщепляется на инвариантные подпространства тогда и только тогда, когда 1. оно циклическое и 2. минимальный многочлен его есть степень неприводимого в поле многочлена.

Вернемся теперь к расщеплению (31) и разложим минимальные многочлены циклических подпространств на неприводимые в поле множители:

, (39)

Применим к первую теорему о расщеплении. Тогда получим:

где – циклические подпространства с минимальными многочленами . Аналогично расщепим подпространства . Тем самым мы получим расщепление всего пространства на циклические подпространства с минимальными многочленами (при этом выбрасываются те степени, у которых показатели равны нулю). Из теоремы 7 следует, что эти циклические подпространства уже далее нерасщепимы (на инвариантные подпространства). Приходим к следующей теореме:

Теорема 8 (3-я теорема о расщеплении пространства на инвариантные подпространства). Пространство всегда можно расщепить на циклические инвариантные подпространства

(40)

так, чтобы минимальный многочлен каждого из этих циклических подпространств был степенью неприводимого многочлена.

Эта теорема дает расщепление пространства на нерасщепимые далее инвариантные подпространства.

Замечание. Теорему 8 (3-ю теорему о расщеплении) мы получили, применяя первые две теоремы о расщеплении. Однако 3-ю теорему о расщеплении можно получить другим путем, а именно, как непосредственное (почти тривиальное) следствие из теоремы 7.

Действительно, пространство , если оно вообще расщепляется, всегда можно расщепить на нерасщепимые далее инвариантные подпространства:

Согласно теореме 7 каждое из слагаемых подпространств является циклическим и имеет в качестве своего минимального многочлена степень неприводимого в многочлена.