§ 5. Нормальная форма матрицы

Пусть  – -мерное инвариантное подпространство в . Выберем в  произвольно базис  и дополним его до базиса в :

.

Посмотрим, как будет выглядеть матрица  оператора  в этом базисе. Напомним читателю, что -й столбец матрицы  заполняется координатами вектора  . При  вектор  (в силу инвариантности ) и, следовательно, последние  координат вектора  равны нулю. Поэтому матрица  имеет такую форму:

                       (41)

где  и  – квадратные матрицы порядка  и , а  – прямоугольная матрица. Равенство нулю четвертого «блока» и выражает инвариантность подпространства . Матрица  задает оператор  в , (при базисе ).

Допустим теперь, что  тоже есть базис некоторого инвариантного подпространства , т. е.  и базис всего пространства составлен из двух частей, которые служат базисами в инвариантных подпространствах  и . Тогда, очевидно, в (41) и блок  будет равен нулю и матрица  будет иметь квазидиагональный вид:

,                  (42)

где  и  – квадратные матрицы порядков  и , задающие оператор в подпространствах  и  (при базисах соответственно  и ). Нетрудно видеть, что и, обратно, квазидиагональному виду матрицы всегда соответствует расщепление пространства на инвариантные подпространства (при этом базис всего пространства составлен из базисов этих подпространств).

В силу 2-й теоремы о расщеплении мы можем расщепить все пространство  на циклические подпространства :

.               (43)

В ряду минимальных многочленов этих подпространств  каждый многочлен есть делитель предыдущего (отсюда уже автоматически следует, что первый многочлен есть минимальный многочлен всего пространства).

Пусть

         .                    (44)

Обозначим через  порождающие векторы в подпространствах  и составим базис всего пространства  из следующих базисов циклических подпространств:

.                        (45)

Посмотрим, какова будет матрица , отвечающая оператору  в этом базисе.

Как было выяснено в начале этого параграфа, матрица  должна иметь квазидиагональную форму

.                    (46)

Матрица  отвечает оператору  в  при базисе . Припоминая правило составления матрицы по заданному оператору и заданному базису (гл. III, стр. 71), найдем:

.                 (47)

Аналогично

,                 (48)

и т. д.

Вычислив характеристические многочлены матриц , получим:

(для циклических подпространств характеристический многочлен оператора  совпадает с минимальным многочленом подпространства относительно этого оператора).

Матрица  отвечает оператору  в «каноническом» базисе (45). Если  – матрица, отвечающая оператору  в произвольном базисе, то матрица  подобна матрице , т. е. существует такая неособенная матрица , что

.                (49)

Про матрицу  мы будем говорить, что она имеет первую естественную нормальную форму. Первая естественная нормальная форма характеризуется

1) квазидиагональным видом (46),

2) специальной структурой диагональных клеток (47), (48) и т. п.,

3) дополнительным условием: характеристический многочлен каждой диагональной клетки делится нацело на характеристический многочлен следующей клетки.

Точно так же, если бы мы исходили не из 2-й, а из 3-й теоремы о расщеплении, то в соответствующем базисе оператору  отвечала бы матрица , имеющая вторую естественную нормальную форму, характеризуемую

1) квазидиагональным видом

,

2) специальной структурой диагональных клеток (47), (48) и т. п.,

3) дополнительным условием: характеристический многочлен каждой клетки является степенью неприводимого в поле  многочлена.

В следующем параграфе мы покажем, что в классе подобных матриц, отвечающих одному и тому же оператору, существует только одна матрица, имеющая первую нормальную форму, и только одна, имеющая вторую нормальную форму. Более того, мы дадим алгоритм для нахождения многочленов  по элементам матрицы . Знание этих многочленов даст нам возможность выписать все элементы матриц  и , подобных матрице  и имеющих соответственно первую и вторую нормальную форму.