§ 6. Инвариантные многочлены. Элементарные делители
1. Обозначим через
наибольший общий делитель всех миноров
-го порядка характеристической матрицы
. Так как в ряду

каждый многочлен делится на последующий без остатка, то формулы
(50)
определяют
многочленов, произведение которых равно характеристическому многочлену
. (51)
Многочлены
разложим на неприводимые в поле
множители:
, (52)
где
– различные неприводимые в поле
многочлены.
Многочлены
называются инвариантными многочленами, а все степени, отличные от постоянной, среди
, называются элементарными делителями характеристической матрицы
или просто матрицы
.
Произведение всех элементарных делителей, как и произведение всех инвариантных многочленов, равно характеристическому многочлену
.
Название «инвариантные многочлены» оправдано тем, что две подобные матрицы
и 
(53)
всегда имеют одни и те же инвариантные многочлены
. (54)
Действительно, из (53) следует:
. (55)
Отсюда (см. гл. I, § 2) получаем соотношение между минорами подобных матриц
и
:
(56)
Это равенство показывает, что каждый общий делитель всех миноров
-го порядка матрицы
является общим делителем всех миноров
-го порядка матрицы
и наоборот (поскольку матрицы
и
можно поменять местами). Отсюда вытекает:
и, следовательно, имеет место (54).
Поскольку все матрицы, представляющие данный оператор
в различных базисах, подобны между собой и потому имеют один и те же инвариантные многочлены и, следовательно, одни и те же элементарные делители, то можно говорить об инвариантных многочленах и элементарных делителях оператора
.
2. Возьмем теперь в качестве
матрицу
, имеющую первую естественную нормальную форму, и вычислим инвариантные многочлены матрицы
, исходя из вида матрицы
(на схеме (57) эта матрица выписана для случая
):
(57)
Пользуясь теоремой Лапласа, найдем:
, (58)
Перейдем к отысканию
. Обратим внимание на минор элемента
. Этот минор с точностью до множителя
равен
. (59)
Мы докажем, что этот минор
-го порядка будет делителем всех прочих миноров
-го порядка и что, следовательно,
. (60)
Для этого возьмем сначала минор элемента, находящегося вне диагональных клеток, и покажем, что такой минор равен нулю. Для получения этого минора нам придется из матрицы (57) вычеркнуть одну строку и один столбец. Вычеркнутые линии в рассматриваемом случае пересекут две разные диагональные клетки и, следовательно, у каждой из этих двух клеток будет вычеркнуто по одной линии. Пусть, например, у
-й диагональной клетки будет вычеркнута одна из строк. Возьмем в миноре ту вертикальную полосу, в которой содержится эта диагональная клетка. В этой полосе, имеющей
столбцов, все строки, за исключением
строк, будут состоять сплошь из нулей (здесь через
мы обозначили порядок матрицы
). Разлагая рассматриваемый определитель
-го порядка на основании теоремы Лапласа по минорам
-го порядка, содержащимся в указанной полосе, мы и убедимся в том, что он равен нулю.
Возьмем теперь минор элемента, находящегося внутри одной из диагональных клеток. В этом случае вычеркиваемые линии «искалечат» только одну из диагональных клеток, например
-ю, и матрица минора снова будет квазидиагональной. Поэтому такой минор будет равен
, (61)
где
– определитель «искалеченной»
-й диагональной клетки. В силу того, что
делится нацело на
, произведение (61) разделится без остатка на произведение (59). Таким образом, равенство (60) можно считать доказанным. Аналогичными рассуждениями получим:
(62)
Из (58), (60) и (62) находим:
(63)
Формулы (63) показывают, что многочлены
совпадают с отличными от единицы инвариантными многочленами оператора
(либо соответствующей матрицы
). Но тогда отличные от единицы
в разложении (39); совпадают с элементарными делителями оператора
(либо соответствующей матрицы
). Поэтому задание инвариантных многочленов, или, что то же, задание элементарных делителей в поле
, однозначно определяет элементы нормальных форм
и
.
Ранее было установлено, что две подобные матрицы имеют одни и те же инвариантные многочлены. Пусть теперь, обратно, известно, что две матрицы
и
с элементами из
имеют одни и те же инвариантные многочлены. Так как матрица
однозначно определяется заданием этих многочленов, то обе матрицы
и
подобны одной и той же матрице
и, следовательно, подобны между собой. Таким образом, приходим к следующему предложению:
Теорема 9. Для того чтобы две матрицы с элементами из
были подобны, необходимо и достаточно, чтобы, у этих матриц были одни и те же инвариантные многочлены.
Характеристический многочлен
оператора
совпадает с
и потому равен произведению всех инвариантных многочленов:
. (64);
Но
есть минимальный многочлен всего пространства относительно
; значит,
и в силу (64)
. (65)
Таким образом, мы попутно получили теорему Гамильтона–Кэли (см. гл. IV, § 3).