§ 6. Инвариантные многочлены. Элементарные делители

1. Обозначим через  наибольший общий делитель всех миноров -го порядка характеристической матрицы  . Так как в ряду

каждый многочлен делится на последующий без остатка, то формулы

                  (50)

определяют  многочленов, произведение которых равно характеристическому многочлену

.                  (51)

Многочлены   разложим на неприводимые в поле  множители:

       ,                       (52)

где  – различные неприводимые в поле  многочлены.

Многочлены  называются инвариантными многочленами, а все степени, отличные от постоянной, среди , называются элементарными делителями характеристической матрицы  или просто матрицы .

Произведение всех элементарных делителей, как и произведение всех инвариантных многочленов, равно характеристическому многочлену .

Название «инвариантные многочлены» оправдано тем, что две подобные матрицы  и

                (53)

всегда имеют одни и те же инвариантные многочлены

           .                       (54)

Действительно, из (53) следует:

.                (55)

Отсюда (см. гл. I, § 2) получаем соотношение между минорами подобных матриц  и :

             (56)

Это равенство показывает, что каждый общий делитель всех миноров -го порядка матрицы  является общим делителем всех миноров -го порядка матрицы  и наоборот (поскольку матрицы  и  можно поменять местами). Отсюда вытекает:   и, следовательно, имеет место (54).

Поскольку все матрицы, представляющие данный оператор  в различных базисах, подобны между собой и потому имеют один и те же инвариантные многочлены и, следовательно, одни и те же элементарные делители, то можно говорить об инвариантных многочленах и элементарных делителях оператора .

2. Возьмем теперь в качестве  матрицу , имеющую первую естественную нормальную форму, и вычислим инвариантные многочлены матрицы , исходя из вида матрицы  (на схеме (57) эта матрица выписана для случая ):

         (57)

Пользуясь теоремой Лапласа, найдем:

,             (58)

Перейдем к отысканию . Обратим внимание на минор элемента . Этот минор с точностью до множителя  равен

.                      (59)

Мы докажем, что этот минор -го порядка будет делителем всех прочих миноров -го порядка и что, следовательно,

.                (60)

Для этого возьмем сначала минор элемента, находящегося вне диагональных клеток, и покажем, что такой минор равен нулю. Для получения этого минора нам придется из матрицы (57) вычеркнуть одну строку и один столбец. Вычеркнутые линии в рассматриваемом случае пересекут две разные диагональные клетки и, следовательно, у каждой из этих двух клеток будет вычеркнуто по одной линии. Пусть, например, у -й диагональной клетки будет вычеркнута одна из строк. Возьмем в миноре ту вертикальную полосу, в которой содержится эта диагональная клетка. В этой полосе, имеющей  столбцов, все строки, за исключением  строк, будут состоять сплошь из нулей (здесь через  мы обозначили порядок матрицы ). Разлагая рассматриваемый определитель -го порядка на основании теоремы Лапласа по минорам -го порядка, содержащимся в указанной полосе, мы и убедимся в том, что он равен нулю.

Возьмем теперь минор элемента, находящегося внутри одной из диагональных клеток. В этом случае вычеркиваемые линии «искалечат» только одну из диагональных клеток, например -ю, и матрица минора снова будет квазидиагональной. Поэтому такой минор будет равен

,                  (61)

где  – определитель «искалеченной» -й диагональной клетки. В силу того, что  делится нацело на  , произведение (61) разделится без остатка на произведение (59). Таким образом, равенство (60) можно считать доказанным. Аналогичными рассуждениями получим:

             (62)

Из (58), (60) и (62) находим:

                 (63)

Формулы (63) показывают, что многочлены  совпадают с отличными от единицы инвариантными многочленами оператора  (либо соответствующей матрицы ). Но тогда отличные от единицы   в разложении (39); совпадают с элементарными делителями оператора  (либо соответствующей матрицы ). Поэтому задание инвариантных многочленов, или, что то же, задание элементарных делителей в поле , однозначно определяет элементы нормальных форм  и .

Ранее было установлено, что две подобные матрицы имеют одни и те же инвариантные многочлены. Пусть теперь, обратно, известно, что две матрицы  и  с элементами из  имеют одни и те же инвариантные многочлены. Так как матрица  однозначно определяется заданием этих многочленов, то обе матрицы  и  подобны одной и той же матрице  и, следовательно, подобны между собой. Таким образом, приходим к следующему предложению:

Теорема 9. Для того чтобы две матрицы с элементами из  были подобны, необходимо и достаточно, чтобы, у этих матриц были одни и те же инвариантные многочлены.

Характеристический многочлен  оператора  совпадает с  и потому равен произведению всех инвариантных многочленов:

.                      (64);

Но  есть минимальный многочлен всего пространства относительно ; значит,  и в силу (64)

.                  (65)

Таким образом, мы попутно получили теорему Гамильтона–Кэли (см. гл. IV, § 3).