§ 7. Нормальная жорданова форма матрицы

Пусть все корни характеристического многочлена  оператора  принадлежат полю . Это, в частности, всегда будет иметь место, если  есть поле всех комплексных чисел.

В рассматриваемом случае разложение инвариантных многочленов на элементарные делители в поле  будет выглядеть так:

    .                     (66)

Так как произведение всех инвариантных многочленов равно характеристическому многочлену , то  в (66) суть все различные между собой корни характеристического многочлена .

Возьмем какой-либо элементарный делитель

;                  (67)

здесь  – одно из чисел , а  – один из (отличных от нуля) показателей  .

Этому элементарному делителю в расщеплении (40) отвечает определенное циклическое подпространство , порождающий вектор которого обозначим буквой . Для этого вектора  будет минимальным многочленом.

Рассмотрим векторы

.            (68)

Векторы  линейно независимы, так как в противном случае существовал бы аннулирующий многочлен для вектора  степени , что невозможно. Теперь заметим, что

               (69)

или

.               (70)

Имея равенства (70), нетрудно выписать матрицу, отвечающую оператору  в  при базисе (68). Эта матрица будет выглядеть так:

,                    (71)

где  – единичная матрица порядка , а  – матрица порядка , у которой элементы первой «наддиагонали» равны единице, а все остальные элементы равны нулю.

Линейно независимые векторы , для которых имеют место равенства (70), образуют так называемую жорданову цепочку векторов в . Из жордановых цепочек, взятых в каждом из подпространств , составляется жорданов базис в . Если минимальные многочлены этих подпространств, т. е. элементарные делители оператора , обозначим теперь через

             (72)

(среди чисел  могут быть и равные), то матрица , отвечающая оператору  в жордановом базисе, будет иметь следующий квазидиагональный вид:

.             (73)

Про матрицу  говорят, что она имеет нормальную жорданову форму или просто жорданову форму. Матрица  сразу выписывается, если известны элементарные делители оператора  в поле , содержащем все корни характеристического уравнения .

Произвольная матрица  всегда подобна матрице , имеющей нормальную жорданову форму, т. е. для произвольной матрицы  всегда существует такая неособенная матрица  , что

.                 (74)

Если все элементарные делители оператора  первой степени (и только в этом случае), жорданова форма является диагональной матрицей, и в этом случае мы имеем:

.                    (75)

Таким образом, линейный оператор  имеет простую структуру (см. гл. III, § 8) в том и только в том случае, когда все элементарные делители оператора  линейны.

Векторы , определяемые равенствами (70), занумеруем в обратном порядке:

.                (76)

Тогда

,              (77)

откуда

.               (78)

Векторы (76) образуют базис в циклическом инвариантном подпространстве , соответствующем в расщеплении (40) элементарному делителю . В этом базисе, как легко видеть, оператору  будет отвечать матрица

.                   (79)

Про векторы (76) говорят, что они образуют нижнюю жорданову цепочку векторов. Если мы в каждом из подпространств  в расщеплении (40) возьмем нижнюю жорданову цепочку векторов, то из этих цепочек составится нижний жорданов базис, в котором оператору  отвечает квазидиагональная матрица

.             (80)

Про матрицу  говорят, что она имеет нижнюю жорданову форму. В отличие от матрицы (80) матрицу (73) мы иногда будем называть верхней жордановой матрицей.

Таким образом, произвольная матрица  всегда подобна как некоторой верхней, так и некоторой нижней жордановой матрице.