§ 8. Метод акад. А. Н. Крылова преобразования векового уравнения

1. Если дана матрица , то ее характеристическое (вековое) уравнение записывается в виде

. (81)

В левой части этого уравнения стоит характеристический многочлен -й степени . Для непосредственного вычисления коэффициентов этого многочлена нужно раскрыть характеристический определитель , а это связано при больших с большим объемом вычислительной работы, поскольку входит в диагональные элементы определителя.

Академик А. Н. Крылов в 1937 г. [103] предложил преобразование характеристического определителя, в результате которого входит только в элементы одного столбца (или строки). Преобразование Крылова существенно упрощает вычисление коэффициентов характеристического уравнения.

В этом параграфе мы дадим алгебраический вывод преобразованного характеристического уравнения, несколько отличающийся от вывода самого Крылова.

Введем в рассмотрение -мерное векторное пространство с базисом и линейный оператор в , определяемый данной матрицей при этом базисе. Выберем в произвольный вектор и составим ряд векторов

. (82)

Пусть первые векторов этого ряда линейно независимы, а -й вектор есть линейная комбинация этих векторов:

, (83)

или

, (84)

где

. (85)

Все дальнейшие векторы ряда (82) также линейно выражаются через первые векторов этого ряда. Таким образом, в ряду (82) имеется линейно независимых векторов, и это максимальное число линейно независимых векторов ряда (82) может быть всегда реализовано на первых векторах ряда.

Многочлен является минимальным (аннулирующим) многочленом вектора относительно оператора (см. § 1). Метод А. Н. Крылова есть метод эффективного определения минимального многочлена вектора .

Мы рассмотрим раздельно два случая: регулярный случай, когда , и особый случай, когда .

Многочлен является делителем минимального многочлена всего пространства , а в свою очередь является делителем характеристического многочлена . Поэтому всегда является делителем .

В регулярном случае и имеют одну и ту же степень , и поскольку старшие коэффициенты у них равны, то эти многочлены совпадают. Таким образом, в регулярном случае

и потому метод Крылова в регулярном случае есть метод вычисления коэффициентов характеристического многочлена .

В особом случае, как мы увидим ниже, метод Крылова не дает возможности определить и в этом случае он определяет только многочлен , являющийся делителем .

При изложении преобразования Крылова мы будем обозначать координаты вектора в заданном базисе через , а координаты вектора через .

2. Регулярный случай: . В этом случае векторы линейно независимы, и равенства (83), (84), (85) принимают вид

(86)

или

, (87)

где

. (88)

Условие лилейной независимости векторов может быть аналитически записано так (см. гл. III, § 1):

. (89)

Рассмотрим матрицу, составленную из координат векторов :

. (90)

В регулярном случае ранг этой матрицы равен . Первые строк этой матрицы линейно независимы, а последняя, -я, строка есть линейная комбинация предыдущих .

Зависимость между строками матрицы (90) получим, заменяя векторное равенство (86) эквивалентной системой скалярных равенств

(91)

Из этой системы линейных уравнений мы можем однозначно определить искомые коэффициенты и подставить полученные значения в (88). Это исключение из (88) и (91) можно провести в симметричной форме. Для этого перепишем (88) и (91) так:

Поскольку эта система из уравнений с неизвестными имеет ненулевое решение , то определитель этой системы должен равняться нулю:

. (92)

Отсюда мы определяем , предварительно транспонируя определитель (92) относительно главной диагонали:

, (93)

где постоянный множитель определяется формулой (89) и отличен от нуля.

Тождество (93) и представляет собой преобразование Крылова. В определителе Крылова, стоящем в правой части этого тождества, входит только в элементы последнего столбца; остальные же элементы этого определителя от не зависят.

Замечание. В регулярном случае все пространство является циклическим (относительно оператора ). Если в качестве базиса выбрать векторы , то в этом базисе оператору соответствует матрица , имеющая естественную нормальную форму

. (94)

Переход от основного базиса к базису осуществляется при помощи неособенной преобразующей матрицы

. (95)

При этом

. (96)

3. Особый случай: . В этом случае векторы линейно зависимы, и потому

Равенство (93) было выведено при условии . Но обе части этого равенства представляют собой целые рациональные функции от и параметров . Поэтому «из соображений непрерывности» следует, что равенство (93) имеет место и при . Но тогда в определителе Крылова (93) после его раскрытия все коэффициенты окажутся равными нулю. Таким образом, в особом случае формула (93) переходит в тривиальное тождество .

Рассмотрим матрицу, составленную из координат векторов

. (97)

Эта матрица имеет ранг и первые строк в ней линейно независимы, последняя же -я строка есть линейная комбинация первых строк с коэффициентами [см. (83)]. Из координат мы сможем выбрать такие координат , чтобы определитель, составленный из этих координат векторов , был отличен от нуля:

. (98)

Далее, из (83) вытекает:

(99)

Из этой системы уравнений однозначно определяются коэффициенты многочлена (минимального многочлена вектора ). Совершенно аналогично регулярному случаю (лишь с заменой на и букв буквами ) мы сможем исключить из (85) и (99) и получить следующую формулу для :

. (100)

4. Остановимся на выяснении вопроса, для каких матриц и при каком выборе исходного вектора или, что то же, при каком выборе исходных параметров имеет место регулярный случай.

Мы уже видели, что в регулярном случае

Совпадение характеристического многочлена с минимальным многочленом означает, что у матрицы нет двух элементарных делителей с одним и тем же характеристическим числом, т. е. все элементарные делители попарно взаимно просты. В случае, когда – матрица простой структуры, это требование равносильно условию, что характеристическое уравнение матрицы не имеет кратных корней.

Совпадение многочлена с означает, что в качестве вектора выбран вектор, порождающий (при помощи оператора ) все пространство . Такой вектор согласно теореме 2 § 2 всегда существует.

Если же условие не выполняется, то, как бы ни выбрать вектор , мы многочлена не получим, так как полученный по методу Крылова многочлен является делителем , который в рассматриваемом случае не совпадает с многочленом , а является лишь его делителем. Варьируя вектор , мы можем в качестве получить любой делитель .

Полученные выводы мы можем сформулировать в виде следующей теоремы:

Теорема 14. Преобразование Крылова дает выражение для характеристического многочлена матрицы в виде определителя (93) в том и только в том случае, когда выполняются два условия:

1. Элементарные делители матрицы попарно взаимно просты.

2. Исходные параметры являются координатами вектора , порождающего (при помощи оператора , соответствующего матрице ) все -мерное пространство.

В общем же случае преобразование Крылова приводит к некоторому делителю характеристического многочлена . Этот делитель является минимальным многочленом для вектора с координатами ( – исходные параметры в преобразовании Крылова).

5. Покажем, как найти координаты собственного вектора для любого характеристического числа , которое является корнем многочлена , получающегося по методу Крылова.

Вектор будем искать в виде

. (101)

Подставляя это выражение для в векторное равенство

и используя (101), мы получим:

(102)

Отсюда, между прочим, следует, что , так как равенство в силу (102) давало бы линейную зависимость между векторами . В дальнейшем мы полагаем . Тогда из (102) получаем:

(103)

Первые из этих равенств определяют нам последовательно величины (координаты вектора в «новом» базисе ); последнее же равенство является следствием из предыдущих и из соотношения .

Координаты вектора в исходном базисе могут быть найдены по следующим формулам, которые вытекают из (101):

(104)

Пример 1.

Рекомендуем читателю следующую схему вычислений.

Под данной матрицей выписываем строку из координат вектора . Этими числами задаемся произвольно (при одном лишь ограничении: по крайней мере одно из этих чисел отлично от нуля). Под строкой пишем строку , т. е. координаты вектора . Числа , получаются путем последовательного умножения строки на строки данной матрицы . Так, например, , и т. д. Под строкой пишем строку и т. д. Каждая из приписываемых строк, начиная со второй, определяется путем последовательного умножения предыдущей строки па строки данной матрицы.

Над строками данной матрицы выписываем контрольную суммарную строку

В данном случае мы имеем регулярный случай, поскольку

Определитель Крылова имеет вид

Раскрывая этот определитель и сокращая на , найдем:

Обозначим через собственный вектор матрицы , соответствующий характеристическому числу . Числа найдем по формулам (103):

, , , .

Контрольное равенство , конечно, удовлетворяется.

Полученные числа располагаем в вертикальном столбце параллельно столбцу векторов . Помножая столбец на столбец , мы получим первую координату вектора в исходном базисе ; аналогично получаем . Находим координаты (после сокращения на 4) вектора . Аналогично определяем координаты собственного вектора для характеристического числа .

Далее, согласно (94) и (95)

где

, .

Пример 2. Рассмотрим ту же матрицу , но в качестве исходных параметров возьмем числа .

Но в данном случае

и . Мы имеем дело с особым случаем.

Беря первые три координаты векторов , определитель Крылова записываем в виде

Раскрывая этот определитель и сокращая на , получим:

Отсюда находим три характеристических числа: , , . Четвертое характеристическое число получим из условия, что сумма всех характеристических чисел равна следу матрицы. Но . Поэтому .

Приведенные примеры показывают, что при применении метода Крылова, выписывая последовательно строки матрицы

, (105)

нужно следить за рангом получаемой матрицы с тем, чтобы остановиться на первой [-й сверху] строке, которая является линейной комбинацией предыдущих. Определение ранга связано с вычислением известных определителей. Кроме того, получив определитель Крылова в виде (93) или (100), для раскрытия его по элементам последнего столбца следует вычислить известное число определителей -го порядка [в регулярном случае -го порядка].

Вместо раскрытия определителя Крылова можно определить коэффициенты непосредственно из системы уравнений (91) [или (99)], применяя к этой системе какой-либо эффективный метод решения, например метод исключения. Этот метод можно применить непосредственно к матрице

, (106)

пользуясь им параллельно с получением соответствующих строк по методу Крылова. Тогда мы своевременно обнаружим зависимую от предыдущих строку матрицы (105) без вычисления каких-либо определителей.

Поясним это подробнее. В первой строке матрицы (106) выбираем какой-либо элемент и с его помощью обращаем в нуль стоящий под ним элемент , вычитая из второй строки первую, помноженную на . Затем во второй строке выбираем какой-либо элемент и с помощью элементов и обращаем в нуль элементы и и т. д. В результате такого преобразования в последнем столбце матрицы (106) степени заменятся многочленами -й степени .

Так как при нашем преобразовании при любом ранг матрицы, образованной первыми строками и первыми столбцами матрицы (106), не меняется, то -я строка этой матрицы после преобразования будем иметь вид

Проведенное нами преобразование не изменяет величины определителя Крылова

Поэтому

, (107)

т. е. и будем искомым многочленом .

Рекомендуем следующее упрощение. Получив -ю преобразованную строку в матрице (106)

, (108)

следующую -ю строку следует получать, умножая ряд (а не первоначальный ряд ) на строки данной матрицы.

Тогда мы найдем -ю строку в виде

и после вычитания предыдущих строк получим:

Рекомендуемое нами небольшое видоизменение метода Крылова (соединение его с методом исключения) позволяет сразу получить интересующий нас многочлен [регулярном случае ] без вычисления каких-либо определителей и решения вспомогательной системы уравнений.

Пример.