Читать в оригинале

<< ПредыдущаяОглавлениеСледующая >>


ГЛАВА VIII. МАТРИЧНЫЕ УРАВНЕНИЯ

В этой главе мы рассмотрим некоторые типы матричных уравнений, встречающиеся в разнообразных вопросах теории матриц и ее приложений.

§ 1. Уравнение AX=XB

Пусть дано уравнение

,                  (1)

где  и  – две заданные квадратные матрицы (вообще говоря, разных порядков)

,

а  – искомая прямоугольная матрица размером :

.

Выпишем элементарные делители матриц  и  (в поле комплексных чисел):

.

В соответствии с этими элементарными делителями приведем матрицы  и  к нормальной жордановой форме

,               (2)

где  и  – квадратные неособенные матрицы соответственно порядка  и , а  и  – жордановы матрицы:

                        (3)

Подставляя в уравнение (1) вместо  и  их выражения (2), получим:

.

Умножим обе части этого равенства слева на , а справа – на :

.                       (4)

Вводя вместо искомой матрицы  новую искомую матрицу  (тех же размеров )

,              (5)

мы уравнение (4) запишем так:

.                 (6)

Мы заменили матричное уравнение (1) уравнением (6) того же вида, но в котором заданные матрицы имеют нормальную жорданову форму.

В соответствии с квазидиагональным видом матриц  и  разобьем матрицу  на блоки:

(здесь  – прямоугольная матрица размером ).

Используя правило умножения блочной матрицы на квазидиагональную (см. стр. 56), произведем умножение матриц в левой и правой частях уравнения (6). Тогда это уравнение распадается на  матричных уравнений

,

которые перепишем еще так:

;            (7)

при этом мы ввели сокращенные обозначения

.            (8)

Возьмем какое-нибудь из уравнений (7). Могут представиться два случая:

1. . Проитерируем  раз равенство (7):

.               (9)

Заметим, что в силу (8)

.                    (10)

Если в (9) взять , то в каждом члене суммы, стоящей в правой части равенства (9), выполняется по крайней мере одно из соотношений

,

и потому в силу (10) либо , либо . Так как, кроме того, в рассматриваемом случае , то из (9) находим:

.                    (11)

2. . В этом случае уравнение (7) принимает вид

.                 (12)

В матрицах  и  элементы первой наддиагонали равны единице, а все остальные элементы равны нулю. Учитывая эту специфичную структуру матриц  и  и полагая

,

мы заменим матричное уравнение (12) следующей эквивалентной ему системой скалярных соотношении:

.                      (13)

Равенства (13) означают:

1) В матрице  на каждой линии, параллельной главной диагонали, стоят равные между собой элементы,

2) .

Пусть . В этом случае  – квадратная матрица. Из 1), 2) следует, что в матрице  все элементы, расположенные под главной диагональю, равны нулю, все элементы главной диагонали равны некоторому числу , все элементы первой наддиагонали равны некоторому числу  и т. д., т. е.

;             (14)

здесь  – произвольные параметры (уравнения (12) не накладывают никаких ограничений на значения этих параметров).

Легко видеть, что при

,            (15)

а при

.              (16)

Про матрицы (14), (15) и (16) мы будем говорить, что они имеют правильную верхнюю треугольную форму. Число произвольных параметров в  равно наименьшему из чисел  и . Приведенная ниже схема показывает структуру матрицы  при  (произвольные параметры здесь обозначены через ):

Для того чтобы при подсчете произвольных параметров в матрице  охватить и случай 1, обозначим через  наибольший общий делитель элементарных делителей  и , а через  – степень многочлена  . В случае 1 ; в случае 2 имеем: . Таким образом, в обоих случаях число произвольных параметров в  равно . Число произвольных параметров в  определяется формулой

.

В дальнейшем нам удобно будет общее решение уравнения (6) обозначить через  (до сих пор мы это решение обозначали буквой ).

Полученные в этом параграфе результаты можно сформулировать в виде следующей теоремы:

Теорема 1. Общее решение матричного уравнения

,

где

задается формулой

.                      (17)

Здесь  – общее решение уравнения  – имеет следующую структуру:  разбивается на блоки

;

если , то на месте  стоит нулевая матрица, если же , то на месте  стоит произвольная правильная верхняя треугольная матрица.

, а следовательно, и  зависят линейно от  произвольных параметров :

,             (18)

где  определяется формулой

                      (19)

[здесь  обозначает степень наибольшего общего делителя  и ].

Заметим, что матрицы , фигурирующие в формуле (18), суть решения исходного уравнения (1) (матрица  получается из , если параметру  дать значение единицы, а остальным параметрам – нулевые значения; ). Эти решения линейно независимы, так как в противном случае при некоторых значениях параметров , не равных одновременно нулю, матрица , а следовательно, и  равнялись бы нулю, что невозможно. Таким образом, равенство (19) показывает, что любое решение исходного уравнения представляет собой линейную комбинацию  линейно независимых решений.

Если матрицы  и  не имеют общих характеристических чисел (характеристические многочлены  и  взаимно просты), то  и, следовательно, , т. е. в этом случае уравнение (1) имеет только тривиальное нулевое решение .

Замечание. Пусть элементы матриц  и  принадлежат некоторому числовому полю . Тогда нельзя утверждать, что элементы матриц  фигурирующих в формуле (17), также принадлежат полю . Элементы этих матриц можно выбрать в расширенном поле , которое получается из поля  путем приобщения к последнему корней характеристических уравнений  и . С такого рода расширением основного поля всегда приходится иметь дело, когда пользуются приведением заданных матриц к нормальной жордановой форме.

Однако матричное уравнение (1) эквивалентно системе  линейных однородных уравнении, где неизвестными служат элементы   искомой матрицы :

.              (20)

Нами доказано, что эта система имеет  линейно независимых решений, где  определяется формулой (19). Но известно, что базисные линейно независимые решения можно выбрать в основном поле , которому принадлежат коэффициенты уравнений (20). Таким образом, в формуле (18) матрицы  можно выбрать так, чтобы их элементы принадлежали полю . Тогда, придавая в формуле (18) произвольным параметрам всевозможные значения из поля , мы получим все матрицы  с элементами из , удовлетворяющие уравнению (1).

 



<< ПредыдущаяОглавлениеСледующая >>