§ 1. Уравнение AX=XB

ГЛАВА VIII. МАТРИЧНЫЕ УРАВНЕНИЯ

В этой главе мы рассмотрим некоторые типы матричных уравнений, встречающиеся в разнообразных вопросах теории матриц и ее приложений.

§ 1. Уравнение AX=XB

Пусть дано уравнение

, (1)

где и – две заданные квадратные матрицы (вообще говоря, разных порядков)

а – искомая прямоугольная матрица размером :

Выпишем элементарные делители матриц и (в поле комплексных чисел):

В соответствии с этими элементарными делителями приведем матрицы и к нормальной жордановой форме

, (2)

где и – квадратные неособенные матрицы соответственно порядка и , а и – жордановы матрицы:

(3)

Подставляя в уравнение (1) вместо и их выражения (2), получим:

Умножим обе части этого равенства слева на , а справа – на :

. (4)

Вводя вместо искомой матрицы новую искомую матрицу (тех же размеров )

, (5)

мы уравнение (4) запишем так:

. (6)

Мы заменили матричное уравнение (1) уравнением (6) того же вида, но в котором заданные матрицы имеют нормальную жорданову форму.

В соответствии с квазидиагональным видом матриц и разобьем матрицу на блоки:

(здесь – прямоугольная матрица размером ).

Используя правило умножения блочной матрицы на квазидиагональную (см. стр. 56), произведем умножение матриц в левой и правой частях уравнения (6). Тогда это уравнение распадается на матричных уравнений

которые перепишем еще так:

; (7)

при этом мы ввели сокращенные обозначения

. (8)

Возьмем какое-нибудь из уравнений (7). Могут представиться два случая:

1. . Проитерируем раз равенство (7):

. (9)

Заметим, что в силу (8)

. (10)

Если в (9) взять , то в каждом члене суммы, стоящей в правой части равенства (9), выполняется по крайней мере одно из соотношений

и потому в силу (10) либо , либо . Так как, кроме того, в рассматриваемом случае , то из (9) находим:

. (11)

2. . В этом случае уравнение (7) принимает вид

. (12)

В матрицах и элементы первой наддиагонали равны единице, а все остальные элементы равны нулю. Учитывая эту специфичную структуру матриц и и полагая

мы заменим матричное уравнение (12) следующей эквивалентной ему системой скалярных соотношении:

. (13)

Равенства (13) означают:

1) В матрице на каждой линии, параллельной главной диагонали, стоят равные между собой элементы,

2) .

Пусть . В этом случае – квадратная матрица. Из 1), 2) следует, что в матрице все элементы, расположенные под главной диагональю, равны нулю, все элементы главной диагонали равны некоторому числу , все элементы первой наддиагонали равны некоторому числу и т. д., т. е.

; (14)

здесь – произвольные параметры (уравнения (12) не накладывают никаких ограничений на значения этих параметров).

Легко видеть, что при

, (15)

а при

. (16)

Про матрицы (14), (15) и (16) мы будем говорить, что они имеют правильную верхнюю треугольную форму. Число произвольных параметров в равно наименьшему из чисел и . Приведенная ниже схема показывает структуру матрицы при (произвольные параметры здесь обозначены через ):

Для того чтобы при подсчете произвольных параметров в матрице охватить и случай 1, обозначим через наибольший общий делитель элементарных делителей и , а через – степень многочлена . В случае 1 ; в случае 2 имеем: . Таким образом, в обоих случаях число произвольных параметров в равно . Число произвольных параметров в определяется формулой

В дальнейшем нам удобно будет общее решение уравнения (6) обозначить через (до сих пор мы это решение обозначали буквой ).

Полученные в этом параграфе результаты можно сформулировать в виде следующей теоремы:

Теорема 1. Общее решение матричного уравнения

где

задается формулой

. (17)

Здесь – общее решение уравнения – имеет следующую структуру: разбивается на блоки

;

если , то на месте стоит нулевая матрица, если же , то на месте стоит произвольная правильная верхняя треугольная матрица.

, а следовательно, и зависят линейно от произвольных параметров :

, (18)

где определяется формулой

(19)

[здесь обозначает степень наибольшего общего делителя и ].

Заметим, что матрицы , фигурирующие в формуле (18), суть решения исходного уравнения (1) (матрица получается из , если параметру дать значение единицы, а остальным параметрам – нулевые значения; ). Эти решения линейно независимы, так как в противном случае при некоторых значениях параметров , не равных одновременно нулю, матрица , а следовательно, и равнялись бы нулю, что невозможно. Таким образом, равенство (19) показывает, что любое решение исходного уравнения представляет собой линейную комбинацию линейно независимых решений.

Если матрицы и не имеют общих характеристических чисел (характеристические многочлены и взаимно просты), то и, следовательно, , т. е. в этом случае уравнение (1) имеет только тривиальное нулевое решение .

Замечание. Пусть элементы матриц и принадлежат некоторому числовому полю . Тогда нельзя утверждать, что элементы матриц фигурирующих в формуле (17), также принадлежат полю . Элементы этих матриц можно выбрать в расширенном поле , которое получается из поля путем приобщения к последнему корней характеристических уравнений и . С такого рода расширением основного поля всегда приходится иметь дело, когда пользуются приведением заданных матриц к нормальной жордановой форме.

Однако матричное уравнение (1) эквивалентно системе линейных однородных уравнении, где неизвестными служат элементы искомой матрицы :

. (20)

Нами доказано, что эта система имеет линейно независимых решений, где определяется формулой (19). Но известно, что базисные линейно независимые решения можно выбрать в основном поле , которому принадлежат коэффициенты уравнений (20). Таким образом, в формуле (18) матрицы можно выбрать так, чтобы их элементы принадлежали полю . Тогда, придавая в формуле (18) произвольным параметрам всевозможные значения из поля , мы получим все матрицы с элементами из , удовлетворяющие уравнению (1).