§ 2. Частный случай: A=B. Перестановочные матрицы

Рассмотрим частный случаи уравнения (1) –уравнение

,                  (21)

где  – заданная, а  – искомая матрица. Мы пришли к задаче Фробениуса: определить все матрицы , перестановочные с данной матрицей .

Приведем матрицу  к нормальной жордановой форме:

.             (22)

Тогда, полагая в формуле (17)  и обозначая  сокращенно через , получим все решения уравнения (21), т. е. все матрицы, перестановочные с , в следующем виде:

,            (23)

где  обозначает произвольную матрицу, перестановочную с . Как было выяснено в предыдущем параграфе,  разбивается на  блоков

в соответствии с разбиением на блоки жордановой матрицы ;  – нулевая матрица либо произвольная правильная верхняя треугольная матрица в зависимости от того,  или .

Для примера выпишем элементы матрицы  для случая, когда матрица  имеет следующие элементарные делители:

.

В этом случае  имеет такой вид:

 ( - произвольные параметры).

Число параметров в  равно , где ; здесь  обозначает степень наибольшего общего делителя многочленов  и .

Введем в рассмотрение инвариантные многочлены матрицы : ; . Степени этих многочленов обозначим через . Так как каждый инвариантный многочлен является произведением нескольких попарно взаимно простых элементарных делителей, то формулу для  можно записать и так:

,             (24)

где  – степень наибольшего общего делителя многочленов  и  . Но наибольшим общим делителем многочленов  и  является один из этих же многочленов и потому . Отсюда получаем:

.

Число  является числом линейно независимых матриц, перестановочных с матрицей  (можно считать, что элементы этих матриц принадлежат основному полю , содержащему элементы матрицы ; см. замечание в конце предыдущего параграфа). Мы пришли к теореме:

Теорема 2. Число линейно независимых матриц, перестановочных с матрицей , определяется формулой

,             (25)

где  – степени непостоянных инвариантных многочленов  матрицы .

Заметим, что

.                (26)

Из (25) и (26) вытекает:

,                        (27)

причем знак  имеет место в том и только в том случае, когда , т. е. когда все элементарные делители матрицы  попарно взаимно просты.

Пусть  – некоторый многочлен от . Тогда матрица  перестановочна с . Возникает обратный вопрос: в каком случае любая матрица, перестановочная с , может быть представлена как многочлен от ? В этом случае любая матрица, перестановочная с , была бы линейной комбинацией линейно независимых матриц

.

В рассматриваемом случае ; сопоставляя с (27), получаем: . Таким образом, мы получили

Следствие 1 из теоремы 2. Все матрицы, перестановочные с , представляются как многочлены от  в том и только в том случае, когда , т. е. когда все элементарные делители матрицы  попарно взаимно просты.

Многочлены от матрицы, перестановочной с , также перестановочны с . Поставим вопрос: в каком случае все матрицы, перестановочные с , представляются в виде многочленов от некоторой (одной и той же) матрицы ? Допустим, что такой случай имеет место. Тогда, так как матрица  удовлетворяет в силу теоремы Гамильтона–Кэли своему характеристическому уравнению, то любая матрица, перестановочная с , выразится линейно через матрицы

.

Поэтому в рассматриваемом случае . Сопоставляя с (27), находим . Но тогда из (25) и (26) и .

Следствие 2 из теоремы 2. Все матрицы, перестановочные с , представляются в виде многочленов от одной и той же матрицы  в том и только в том случае, когда , т. е. когда все элементарные делители у  взаимно просты. В этом случае все матрицы, перестановочные с , представляются и в виде многочленов от .

Отметим еще одно очень важное свойство перестановочных матриц.

Теорема 3. Если две матрицы  перестановочны и одна из них, например , имеет квазидиагональный вид

,              (28)

где матрицы  и  не имеют общих характеристических чисел, то и другая матрица имеет такой же квазидиагональный вид

.              (29)

Доказательство. Разобьем матрицу  на блоки в соответствии с квазидиагональным видом (28):

.

Записывая, что , получим четыре матричных равенства:

1. , 2. , 3. , 4. .                   (30)

Второе и третье из уравнений (30), как было выяснено в § 1 (стр. 203), имеют только нулевые решения , поскольку матрицы  и  не имеют общих характеристических чисел. Таким образом, наше предложение доказано. Первое и четвертое из равенств (30) выражают перестановочность матриц  и ,  и .

Доказанное предложение в геометрической формулировке гласит:

Теорема 3'. Если

есть расщепление всего пространства  на инвариантные относительно оператора  подпространства  и  и минимальные многочлены этих подпространств (относительно ) взаимно просты, то эти подпространства  и  инвариантны относительно любого линейного оператора , перестановочного с .

Из доказанной теоремы вытекает следующее следствие:

Следствие 1. Если линейные операторы  попарно перестановочны, то можно расщепить все пространство  на инвариантные относительно всех операторов  подпространства

так, чтобы минимальный многочлен любого из этих подпространств относительно любого из операторов  был степенью неприводимого многочлена.

Как частный случай отсюда получим

Следствие 2. Если линейные операторы  попарно перестановочны и все характеристические числа этих операторов принадлежат основному полю , то можно расщепить все пространство  на инвариантные относительно всех операторов  подпространства , в каждом из которых любой из операторов  имеет равные характеристические числа.

И, наконец, отметим уже частный случаи этого предложения:

Следствие 3. Если операторы простой структуры  (см. гл. III, § 8) попарно перестановочны, то можно составить базис пространства из общих собственных векторов этих операторов. Дадим еще матричную формулировку последнего предложения:

Перестановочные матрицы простой структуры можно одновременно, т. е. одним и тем же преобразованием подобия, привести к диагональному виду.