§ 3. Уравнение AX-XB=C

Пусть дано матричное уравнение

,                       (31)

где  – заданные квадратные матрицы порядков  и ,  – заданная, а  – искомая прямоугольные матрицы размером . Уравнение (31) эквивалентно системе  скалярных уравнений относительно элементов матрицы :

.

Соответствующая однородная система уравнений

в матричном виде записывается так:

.            (32)

Таким образом, если уравнение (32) имеет только нулевое решение, то уравнение (31) имеет одно-единственное решение. Но в § 1 было установлено, что уравнение (32) имеет только нулевое решение тогда и только тогда, когда матрицы  и  не имеют общих характеристических чисел. Следовательно, если матрицы  и  не имеют общих характеристических чисел, то уравнение (31) имеет одно и только одно решение; если же матрицы  и  имеют обилие характеристические числа, то в зависимости от «свободного члена»  могут представиться два случая: либо уравнение (31) противоречиво, либо оно имеет бесчисленное множество решений, задаваемых формулой

,

где  – фиксированное частное решение уравнения (31),  – общее решение однородного уравнения (32) (структура  была выяснена в § 1).