§ 4. Скалярное уравнение f(X)=0

Рассмотрим сначала уравнение

, (33)

где

– заданный многочлен переменной , а – искомая квадратная матрица порядка . Так как минимальный многочлен матрицы , т. е. первый инвариантный многочлен , должен быть делителем многочлена , то элементарные делители матрицы должны иметь следующий вид:

(среди индексов могут быть и равные, – заданный порядок искомой матрицы ).

Искомая матрица представится в виде

, (34)

где – произвольная неособенная матрица порядка . Множество решений уравнения (33) с заданным порядком искомой матрицы распадается согласно формуле (34) на конечное число классов подобных между собой матриц.

Пример 1. Дано уравнение

. (35)

Если некоторая степень матрицы равна нулю, то матрица называется нильпотентной. Наименьший из показателей, при которых степень матрицы равна нулю, называется индексом нильпотентности данной матрицы.

Очевидно, решениями уравнения (35) являются все нильпотентные матрицы с индексом нильпотентности . Формула, охватывающая все решения данного порядка , выглядит так:

(36)

( – произвольная неособенная матрица).

Пример 2. Дано уравнение

. (37)

Матрица, удовлетворяющая этому уравнению, называется идемпотентной. Элементарными делителями идемпотентной матрицы могут быть только либо . Поэтому идемпотентную матрицу можно определить как матрицу простой структуры (т. е. приводящуюся к диагональной форме) с характеристическими числами, равными нулю или единице. Формула, охватывающая все идемпотентные матрицы данного порядка, имеет вид

, (38)

где – произвольная неособенная матрица порядка .

Рассмотрим теперь более общее уравнение

, (39)

где – регулярная функция в некоторой области плоскости комплексного аргумента . От искомого решения будем требовать, чтобы характеристические числа его принадлежали области . Выпишем все нули функции , лежащие в области , и их кратности:

Как и в предыдущем случае, каждый элементарный делитель матрицы должен иметь вид

и потому

(40)

( – произвольная неособенная матрица).