§ 5. Матричное многочленное уравнение
Рассмотрим уравнения
, (41)
, (42)
где
– заданные, а
и
– искомые квадратные матрицы порядка
. Уравнение (33), рассмотренное в предыдущем параграфе, представляет собой весьма частный (можно сказать, тривиальный) случай уравнений (41), (42) и получается из последних, если положить
, где
– число и
.
Следующая теорема устанавливает связь между уравнениями (41), (42) и (33).
Теорема 4. Каждое решение матричного уравнения

удовлетворяет скалярному уравнению
, (43)
где
. (44)
Этому же скалярному уравнению удовлетворяет и любое решение
матричного уравнения
.
Доказательство. Обозначим через
матричный многочлен
.
Тогда уравнения (41) и (42) запишутся так (см. стр. 88):
.
Согласно обобщенной теореме Безу (гл. IV, § 2), если
и
– решения этих уравнений, то матричный многочлен
делится справа на
и слева на
:
.
Отсюда
, (45)
где
и
– характеристические многочлены матриц
и
. По теореме Гамильтона–Кэли (гл. IV, § 3)
.
Поэтому из (45) вытекает:
.
Теорема доказана.
Мы доказали, что каждое решение уравнения (41) удовлетворяет скалярному уравнению (степени
)
.
Но множество матричных решений этого уравнения с заданным порядком
распадается на конечное число классов подобных между собой матриц (см. § 4). Поэтому все решения уравнения (41) приходится искать среди матриц вида
(46)
здесь
– известные матрицы; при желании можно считать, что
имеют нормальную жорданову форму;
– произвольные неособенные матрицы
-го порядка;
. Подставим в (41) вместо
матрицу (46) и подберем
так, чтобы удовлетворялось уравнение (41). Для каждого
получим свое линейное уравнение
. (47)
Единственный способ, который мы можем предложить для нахождения решения
уравнения (47), заключается в замене матричного уравнения системой линейных однородных скалярных уравнений относительно элементов искомой матрицы
. Каждое неособенное решение
уравнения (47), будучи подставлено в (46), дает решение данного уравнения (41). Аналогичные рассуждения могут быть проведены для уравнения (42).
В следующих двух параграфах мы рассмотрим частные случаи уравнения (41), связанные с извлечением корня
-й степени из матрицы.
Заметим, что теорема Гамильтона–Кэли является частным случаем теоремы 4. В самом деле, любая квадратная матрица
, будучи подставлена вместо
, удовлетворяет уравнению
.
Поэтому в силу доказанной теоремы
,
где
.
Теорема 4 может быть обобщена следующим образом:
Теорема 5 (Филлипса). Если попарно перестановочные между собой квадратные матрицы
-го порядка
удовлетворяют матричному уравнению
(48)
(
– заданные квадратные матрицы
-го порядка), то эти же матрицы
удовлетворяют скалярному уравнению
, (49)
где
. (50)
Доказательство. Положим
;
– скалярные переменные.
Обозначим через
присоединенную матрицу для матрицы
[
есть алгебраическое дополнение (адъюнкта) элемента
в определителе
]. Тогда каждый элемент
матрицы
есть однородный многочлен относительно
степени
, и потому матрицу
можно представить в виде
,
где
– некоторые постоянные матрицы порядка
.
Из определения матрицы
следует тождество
.
Запишем это тождество следующим образом:
. (51)
Переход от левой части к правой части в тождестве (51) осуществляется путем раскрытия скобок и приведения подобных членов. При этом приходится переставлять местами переменные
между собой и не приходится переставлять местами переменные
с матричными коэффициентами
и
. Поэтому равенство (51) не нарушится, если мы вместо переменных
подставим попарно перестановочные между собой матрицы
:
. (52)
Но по условию
. Тогда из (52) находим:
, что и требовалось доказать.
Замечание 1. Теорема 5 сохраняет свою силу, если уравнение (48) заменить уравнением
. (53)
Действительно, теорему 5 можно применить к уравнению

и затем перейти в этом уравнении почленно к транспонированным матрицам.
Замечание 2. Теорема 4 получится как частный случай теоремы 5 если в качестве
взять
.