§ 5. Матричное многочленное уравнение

Рассмотрим уравнения

, (41)

, (42)

где – заданные, а и – искомые квадратные матрицы порядка . Уравнение (33), рассмотренное в предыдущем параграфе, представляет собой весьма частный (можно сказать, тривиальный) случай уравнений (41), (42) и получается из последних, если положить , где – число и .

Следующая теорема устанавливает связь между уравнениями (41), (42) и (33).

Теорема 4. Каждое решение матричного уравнения

удовлетворяет скалярному уравнению

, (43)

где

. (44)

Этому же скалярному уравнению удовлетворяет и любое решение матричного уравнения

Доказательство. Обозначим через матричный многочлен

Тогда уравнения (41) и (42) запишутся так (см. стр. 88):

Согласно обобщенной теореме Безу (гл. IV, § 2), если и – решения этих уравнений, то матричный многочлен делится справа на и слева на :

Отсюда

, (45)

где и – характеристические многочлены матриц и . По теореме Гамильтона–Кэли (гл. IV, § 3)

Поэтому из (45) вытекает:

Теорема доказана.

Мы доказали, что каждое решение уравнения (41) удовлетворяет скалярному уравнению (степени )

Но множество матричных решений этого уравнения с заданным порядком распадается на конечное число классов подобных между собой матриц (см. § 4). Поэтому все решения уравнения (41) приходится искать среди матриц вида

(46)

здесь – известные матрицы; при желании можно считать, что имеют нормальную жорданову форму; – произвольные неособенные матрицы -го порядка; . Подставим в (41) вместо матрицу (46) и подберем так, чтобы удовлетворялось уравнение (41). Для каждого получим свое линейное уравнение

. (47)

Единственный способ, который мы можем предложить для нахождения решения уравнения (47), заключается в замене матричного уравнения системой линейных однородных скалярных уравнений относительно элементов искомой матрицы . Каждое неособенное решение уравнения (47), будучи подставлено в (46), дает решение данного уравнения (41). Аналогичные рассуждения могут быть проведены для уравнения (42).

В следующих двух параграфах мы рассмотрим частные случаи уравнения (41), связанные с извлечением корня -й степени из матрицы.

Заметим, что теорема Гамильтона–Кэли является частным случаем теоремы 4. В самом деле, любая квадратная матрица , будучи подставлена вместо , удовлетворяет уравнению

Поэтому в силу доказанной теоремы

где .

Теорема 4 может быть обобщена следующим образом:

Теорема 5 (Филлипса). Если попарно перестановочные между собой квадратные матрицы -го порядка удовлетворяют матричному уравнению

(48)

( – заданные квадратные матрицы -го порядка), то эти же матрицы удовлетворяют скалярному уравнению

, (49)

где

. (50)

Доказательство. Положим

;

– скалярные переменные.

Обозначим через присоединенную матрицу для матрицы [ есть алгебраическое дополнение (адъюнкта) элемента в определителе ]. Тогда каждый элемент матрицы есть однородный многочлен относительно степени , и потому матрицу можно представить в виде

где – некоторые постоянные матрицы порядка .

Из определения матрицы следует тождество

Запишем это тождество следующим образом:

. (51)

Переход от левой части к правой части в тождестве (51) осуществляется путем раскрытия скобок и приведения подобных членов. При этом приходится переставлять местами переменные между собой и не приходится переставлять местами переменные с матричными коэффициентами и . Поэтому равенство (51) не нарушится, если мы вместо переменных подставим попарно перестановочные между собой матрицы :

. (52)

Но по условию . Тогда из (52) находим: , что и требовалось доказать.

Замечание 1. Теорема 5 сохраняет свою силу, если уравнение (48) заменить уравнением

. (53)

Действительно, теорему 5 можно применить к уравнению

и затем перейти в этом уравнении почленно к транспонированным матрицам.

Замечание 2. Теорема 4 получится как частный случай теоремы 5 если в качестве взять