Читать в оригинале

<< ПредыдущаяОглавлениеСледующая >>


§ 5. Матричное многочленное уравнение

Рассмотрим уравнения

,                      (41)

,             (42)

где  – заданные, а  и  – искомые квадратные матрицы порядка . Уравнение (33), рассмотренное в предыдущем параграфе, представляет собой весьма частный (можно сказать, тривиальный) случай уравнений (41), (42) и получается из последних, если положить , где  – число и .

Следующая теорема устанавливает связь между уравнениями (41), (42) и (33).

Теорема 4. Каждое решение матричного уравнения

удовлетворяет скалярному уравнению

,                  (43)

где

.                (44)

Этому же скалярному уравнению удовлетворяет и любое решение  матричного уравнения

.

Доказательство. Обозначим через  матричный многочлен

.

Тогда уравнения (41) и (42) запишутся так (см. стр. 88):

.

Согласно обобщенной теореме Безу (гл. IV, § 2), если  и  – решения этих уравнений, то матричный многочлен  делится справа на  и слева на :

.

Отсюда

,                    (45)

где  и  – характеристические многочлены матриц  и . По теореме Гамильтона–Кэли (гл. IV, § 3)

.

Поэтому из (45) вытекает:

.

Теорема доказана.

Мы доказали, что каждое решение уравнения (41) удовлетворяет скалярному уравнению (степени )

.

Но множество матричных решений этого уравнения с заданным порядком  распадается на конечное число классов подобных между собой матриц (см. § 4). Поэтому все решения уравнения (41) приходится искать среди матриц вида

                      (46)

здесь  – известные матрицы; при желании можно считать, что  имеют нормальную жорданову форму;  – произвольные неособенные матрицы -го порядка; . Подставим в (41) вместо  матрицу (46) и подберем  так, чтобы удовлетворялось уравнение (41). Для каждого  получим свое линейное уравнение

.                       (47)

Единственный способ, который мы можем предложить для нахождения решения  уравнения (47), заключается в замене матричного уравнения системой линейных однородных скалярных уравнений относительно элементов искомой матрицы . Каждое неособенное решение  уравнения (47), будучи подставлено в (46), дает решение данного уравнения (41). Аналогичные рассуждения могут быть проведены для уравнения (42).

В следующих двух параграфах мы рассмотрим частные случаи уравнения (41), связанные с извлечением корня -й степени из матрицы.

Заметим, что теорема Гамильтона–Кэли является частным случаем теоремы 4. В самом деле, любая квадратная матрица , будучи подставлена вместо , удовлетворяет уравнению

.

Поэтому в силу доказанной теоремы

,

где .

Теорема 4 может быть обобщена следующим образом:

Теорема 5 (Филлипса). Если попарно перестановочные между собой квадратные матрицы -го порядка  удовлетворяют матричному уравнению

                       (48)

( – заданные квадратные матрицы -го порядка), то эти же матрицы  удовлетворяют скалярному уравнению

,                       (49)

где

.              (50)

Доказательство. Положим

;

 – скалярные переменные.

Обозначим через  присоединенную матрицу для матрицы [ есть алгебраическое дополнение (адъюнкта) элемента  в определителе  ]. Тогда каждый элемент   матрицы  есть однородный многочлен относительно  степени , и потому матрицу  можно представить в виде

,

где  – некоторые постоянные матрицы порядка .

Из определения матрицы  следует тождество

.

Запишем это тождество следующим образом:

.                       (51)

Переход от левой части к правой части в тождестве (51) осуществляется путем раскрытия скобок и приведения подобных членов. При этом приходится переставлять местами переменные  между собой и не приходится переставлять местами переменные  с матричными коэффициентами  и . Поэтому равенство (51) не нарушится, если мы вместо переменных  подставим попарно перестановочные между собой матрицы :

.                  (52)

Но по условию . Тогда из (52) находим: , что и требовалось доказать.

Замечание 1. Теорема 5 сохраняет свою силу, если уравнение (48) заменить уравнением

.                      (53)

Действительно, теорему 5 можно применить к уравнению

и затем перейти в этом уравнении почленно к транспонированным матрицам.

Замечание 2. Теорема 4 получится как частный случай теоремы 5 если в качестве  взять

.

 



<< ПредыдущаяОглавлениеСледующая >>