§ 6. Извлечение корня m-й степени из неособенной матрицы

Этот и следующий параграфы мы посвятим уравнению

,                    (54)

где  – заданная, а  – искомая матрицы (обе порядка ),  – данное целое положительное число.

В данном параграфе мы рассмотрим случай, когда  ( – неособенная матрица). В этом случае все характеристические числа матрицы  отличны от нуля (ибо  равен произведению этих характеристических чисел).

Обозначим через

             (55)

элементарные делители матрицы  и приведем матрицу  к жордановой форме:

.                  (56)

Так как характеристические числа искомой матрицы  при возведении в -ю степень дают характеристические числа матрицы , то и у матрицы  все характеристические числа отличны от нуля. Поэтому на этих характеристических числах производная от

не обращается в нуль. Но в таком случае (см. гл. VI, стр. 159) элементарные делители матрицы  не «расщепляются» при возведении матрицы  в -ю степень. Из сказанного следует, что элементарными делителями матрицы  будут:

,             (57)

где , т. е.  является одним из корней -й степени из  .

Определим теперь  следующим образом. Возьмем в -плоскости круг с центром в точке , не захватывающий нуля. В этом круге мы имеем  раздельных ветвей функции . Эти ветви можно отличать одну от другой по значениям, которые они принимают в центре круга, в точке . Обозначим через  ту ветвь, значение которой в точке , совпадает с характеристическим числом  искомой матрицы , и, исходя из этой ветви, определим функцию от матрицы  с помощью обрывающегося ряда

.                 (58)

Так как производная от рассматриваемой функции  в точке  не равна нулю, то матрица (58) имеет только один элементарный делитель , где  (здесь ). Отсюда следует, что квазидиагональная матрица

имеет элементарные делители (57), т. е. те же элементарные делители, что и искомая матрица . Поэтому существует такая неособенная матрица , что

.                   (59)

Для определения матрицы  заметим, что, подставляя в обе части тождества

вместо  матрицу  , получим:

.

Теперь из (54) и (59) следует:

.                 (60)

Сопоставляя (56) и (60), найдем:

,                   (61)

где  – произвольная неособенная матрица, перестановочная с  (структура матрицы  детально описана в § 2).

Подставляя в (59) вместо  выражение , получаем формулу, охватывающую все решения уравнения (54):

.                  (62)

Многозначность правой части этой формулы имеет как дискретный, так и континуальный характер: дискретный (в данном случае и конечный) характер этой многозначности получается за счет выбора различных ветвей функции  в различных клетках квазидиагональной матрицы (при этом даже при  ветви  в -й и в -й диагональных клетках могут быть различными); континуальный характер многозначности получается за счет произвольных параметров, содержащихся в матрице .

Все решения уравнения (54) мы будем называть корнями -й степени из матрицы  и обозначать многозначным символом . Обратим внимание на то, что  в общем случае не является функцией от матрицы  (т. е. не представляется в виде многочлена от ).

Замечание. Если все элементарные делители матрицы  попарно взаимно просты, т. е. числа  все различны, то матрица  имеет квазидиагональный вид

,

где матрица  перестановочна с  и, следовательно, перестановочна с любой функцией от , в частности с  . Поэтому в рассматриваемом случае формула (62) принимает вид

.

Таким образом, если элементарные делители матрицы  попарно взаимно просты, то в формуле для  имеется только дискретная многозначность. В этом случае любое значение  можно представить как многочлен от .

Пример. Пусть требуется найти все квадратные корни из матрицы

,

т. е. все решения уравнения

.

В данном случае матрица  уже имеет нормальную жорданову форму. Поэтому в формуле (62) можно положить . Матрица  в данном случае выглядит так (см. стр. 204):

,

где  – произвольные параметры.

Формула (62), дающая все искомые решения , в данном случае принимает следующий вид:

.                       (63)

Не изменяя , мы можем в формуле (62) помножить на такой скаляр, чтобы . В данном случае это приведет к равенству , откуда .

Вычислим элементы матрицы . Для этого выпишем линейное преобразование с матрицей коэффициентов :

Разрешим эту систему уравнений относительно . Тогда получим преобразование с обратной матрицей :

Отсюда находим:

.

Формула (63) дает:

                (64)

Решение  зависит от двух произвольных параметров  и  и от двух произвольных знаков  и .