Читать в оригинале

<< ПредыдущаяОглавлениеСледующая >>


§ 8. Логарифм матрицы

1. Рассмотрим матричное уравнение

.                      (90)

Все решения этого уравнения будем называть логарифмами (натуральными) матрицы  и обозначать через .

Характеристические числа  матрицы  связаны с характеристическими числами  матрицы  формулой ; поэтому, если уравнение (90) имеет решение, то все характеристические числа матрицы  отличны от нуля и матрица  является неособенной . Таким образом, условие  является необходимым для существования решения уравнения (90). Ниже мы увидим, что это условие является и достаточным.

Итак, пусть . Выпишем элементарные делители матрицы :

.            (91)

В соответствии с этими элементарными делителями приведем матрицу  к нормальной жордановой форме:

.                  (92)

Так как производная от функции  отлична от нуля при всех значениях , то (см. гл. VI, стр. 159) при переходе от матрицы  к матрице  элементарные делители не расщепляются, т. е. матрица  имеет элементарные делители

,                (93)

где  , т. е.  есть одно из значений  .

Возьмем в плоскости комплексного переменного  круг с центром в точке  радиуса  и обозначим через  ту из ветвей функции  в рассматриваемом круге, которая в точке  принимает значение, равное характеристическому числу  матрицы  . После этого полагаем:

.                      (94)

Так как производная от  нигде не обращается в нуль (в конечной части плоскости ), то матрица (94) имеет только один элементарный делитель . В силу этого квазидиагональная матрица

              (95)

имеет те же элементарные делители, что и искомая матрица . Поэтому существует такая матрица , что

.                     (96)

Для определения матрицы  заметим, что

.                (97)

Сопоставляя (97) с (92), находим:

,                    (98)

где  – произвольная матрица, перестановочная с матрицей . Подставляя выражение для  из (98) в (96), получим общую формулу, охватывающую все логарифмы матрицы:

.              (99)

Замечание. Если все элементарные делители матрицы  взаимно просты, то в правой части формулы (99) можно выбросить множители  и  (см. аналогичное замечание на стр. 213).

2. Выясним, когда вещественная неособенная матрица  имеет вещественный логарифм . Пусть искомая матрица имеет несколько элементарных делителей, отвечающих характеристическому числу вида . Поскольку матрица  вещественна, то она имеет и сопряженные элементарные делители: . При переходе от матрицы  к матрице  элементарные делители не расщепляются, но характеристические числа  заменяются в них числами , где . Поэтому в системе элементарных делителей матрицы  каждый элементарный делитель, соответствующий отрицательному характеристическому числу (если таковые существуют), повторяется четное число раз. Докажем теперь, что это необходимое условие является и достаточным, т. е. что вещественная неособенная матрица  тогда и только тогда имеет вещественный логарифм , когда у матрицы  либо совсем нет элементарных делителей, соответствующих отрицательным характеристическим числам, либо каждый такой элементарный делитель повторяется четное число раз.

Действительно, пусть это условие выполнено. Тогда в квазидиагональной матрице (95) в соответствии с формулой (94) в тех клетках, где  вещественно и положительно, возьмем для  вещественное значение; если же в какой-либо клетке имеется комплексное , то найдется другая клетка такого же размера с . В этих клетках возьмем комплексно сопряженные значения для  и . Каждая же клетка по условию повторяется в (98) четное число раз с сохранением размера клетки. Тогда в половине этих клеток положим , а в другой половине возьмем . Тогда в квазидиагональной матрице (98) диагональные клетки либо будут вещественными, либо будут попарно комплексно сопряженными. Но такая квазидиагональнля матрица всегда подобна вещественной матрице. Поэтому существует такая неособенная матрица , что матрица

вещественна. Но тогда будет вещественной и матрица

.              (100)

Сопоставляя формулу (100) с формулой (92), заключаем, что матрицы  и  подобны между собой (поскольку они подобны одной и той же жордановой матрице). Но две подобные вещественные матрицы могут быть преобразованы друг в друга с помощью некоторой неособенной вещественной матрицы :

.

Тогда матрица  и будет искомым вещественным логарифмом матрицы .

 

 



<< ПредыдущаяОглавлениеСледующая >>