§ 8. Логарифм матрицы

1. Рассмотрим матричное уравнение

. (90)

Все решения этого уравнения будем называть логарифмами (натуральными) матрицы и обозначать через .

Характеристические числа матрицы связаны с характеристическими числами матрицы формулой ; поэтому, если уравнение (90) имеет решение, то все характеристические числа матрицы отличны от нуля и матрица является неособенной . Таким образом, условие является необходимым для существования решения уравнения (90). Ниже мы увидим, что это условие является и достаточным.

Итак, пусть . Выпишем элементарные делители матрицы :

. (91)

В соответствии с этими элементарными делителями приведем матрицу к нормальной жордановой форме:

. (92)

Так как производная от функции отлична от нуля при всех значениях , то (см. гл. VI, стр. 159) при переходе от матрицы к матрице элементарные делители не расщепляются, т. е. матрица имеет элементарные делители

, (93)

где , т. е. есть одно из значений .

Возьмем в плоскости комплексного переменного круг с центром в точке радиуса и обозначим через ту из ветвей функции в рассматриваемом круге, которая в точке принимает значение, равное характеристическому числу матрицы . После этого полагаем:

. (94)

Так как производная от нигде не обращается в нуль (в конечной части плоскости ), то матрица (94) имеет только один элементарный делитель . В силу этого квазидиагональная матрица

(95)

имеет те же элементарные делители, что и искомая матрица . Поэтому существует такая матрица , что

. (96)

Для определения матрицы заметим, что

. (97)

Сопоставляя (97) с (92), находим:

, (98)

где – произвольная матрица, перестановочная с матрицей . Подставляя выражение для из (98) в (96), получим общую формулу, охватывающую все логарифмы матрицы:

. (99)

Замечание. Если все элементарные делители матрицы взаимно просты, то в правой части формулы (99) можно выбросить множители и (см. аналогичное замечание на стр. 213).

2. Выясним, когда вещественная неособенная матрица имеет вещественный логарифм . Пусть искомая матрица имеет несколько элементарных делителей, отвечающих характеристическому числу вида . Поскольку матрица вещественна, то она имеет и сопряженные элементарные делители: . При переходе от матрицы к матрице элементарные делители не расщепляются, но характеристические числа заменяются в них числами , где . Поэтому в системе элементарных делителей матрицы каждый элементарный делитель, соответствующий отрицательному характеристическому числу (если таковые существуют), повторяется четное число раз. Докажем теперь, что это необходимое условие является и достаточным, т. е. что вещественная неособенная матрица тогда и только тогда имеет вещественный логарифм , когда у матрицы либо совсем нет элементарных делителей, соответствующих отрицательным характеристическим числам, либо каждый такой элементарный делитель повторяется четное число раз.

Действительно, пусть это условие выполнено. Тогда в квазидиагональной матрице (95) в соответствии с формулой (94) в тех клетках, где вещественно и положительно, возьмем для вещественное значение; если же в какой-либо клетке имеется комплексное , то найдется другая клетка такого же размера с . В этих клетках возьмем комплексно сопряженные значения для и . Каждая же клетка по условию повторяется в (98) четное число раз с сохранением размера клетки. Тогда в половине этих клеток положим , а в другой половине возьмем . Тогда в квазидиагональной матрице (98) диагональные клетки либо будут вещественными, либо будут попарно комплексно сопряженными. Но такая квазидиагональнля матрица всегда подобна вещественной матрице. Поэтому существует такая неособенная матрица , что матрица

вещественна. Но тогда будет вещественной и матрица

. (100)

Сопоставляя формулу (100) с формулой (92), заключаем, что матрицы и подобны между собой (поскольку они подобны одной и той же жордановой матрице). Но две подобные вещественные матрицы могут быть преобразованы друг в друга с помощью некоторой неособенной вещественной матрицы :

Тогда матрица и будет искомым вещественным логарифмом матрицы .