ГЛАВА IX. ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ В УНИТАРНОМ ПРОСТРАНСТВЕ

§ 1. Общие соображения

В главах III и VII мы изучали линейные операторы в произвольном -мерном векторном пространстве. Все базисы такого пространства равноправны между собой. Данному линейному оператору в каждом базисе отвечает некоторая матрица. Матрицы, отвечающие одному и тому же оператору в различных базисах, подобны между собой. Таким образом, изучение линейных операторов в -мерном векторном пространстве давало возможность выявить свойства матрицы, присущие одновременно всему классу подобных между собой матриц.

В начале этой главы мы введем метрику в -мерное векторное пространство, относя специальным образом каждым двум векторам некоторое число – их «скалярное произведение». С помощью скалярного произведения определяется длина вектора и косинус угла между двумя векторами. Такая метризация приводит нас к унитарному пространству, если основное поле  – поле всех комплексных чисел, и к евклидову пространству, если  – поле всех вещественных чисел.

В настоящей главе мы будем изучать свойства линейных операторов, связанные с метрикой пространства. По отношению к метрике пространства уже не все базисы равноправны. Однако равноправными являются все ортонормированные базисы. Переход от одного ортонормированного базиса к другому осуществляется в унитарном (соответственно евклидовом) пространстве при помощи специального – унитарного (соответственно ортогонального) – преобразования. Поэтому две матрицы, отвечающие одному и тому же линейному оператору в двух различных базисах унитарного (евклидова) пространства, унитарно-подобны (ортогонально-подобны) между собой. Таким образом, изучая линейные операторы в -мерном метризованном пространстве, мы изучаем те свойства матрицы, которые остаются инвариантными при переходе от данной матрицы к матрице унитарно- или ортогонально-подобной. Это приводит нас естественным образом к исследованию свойств специальных классов матриц (нормальных, эрмитовых, унитарных, симметрических, кососимметрических, ортогональных).