§ 2. Метризация пространства

Рассмотрим векторное пространство  над полем комплексных чисел. Пусть каждым двум векторам  и  из , заданным в определенном порядке, отнесено некоторое комплексное число, называемое скалярным произведением этих векторов и обозначаемое через  или . Пусть при этом имеют место следующие свойства «скалярного умножения».

Для любых векторов  из  любого комплексного числа

                 (1)

В этом случае говорят, что в пространство  внесена эрмитова метрика.

Заметим еще, что из 1, 2 и 3 следует для любых  из :

2'. ,

3'. .

Из 1 заключаем, что для любого вектора  скалярное произведение  является вещественным числом.

Если для любого вектора  из

4. ,                (2)

то эрмитова метрика называется неотрицательной. Если же при этом

5.  при ,                     (3)

то эрмитова метрика называется положительно определенной.

Определение 1. Векторное пространство  с положительно определенной эрмитовой метрикой мы будем называть унитарным пространством.

В настоящей главе мы будем рассматривать конечномерные унитарные пространства.

Под длиной вектора  понимают . Из 2 и 5 следует, что каждый вектор, отличный от нуля, имеет положительную длину и лишь вектор-нуль имеет длину, равную нулю. Вектор  называется нормированным (также единичными вектором или ортом), если . Для нормировки произвольного вектора  достаточно умножить этот вектор на любое комплексное число , у которого .

По аналогии с обычным трехмерным векторным пространством два вектора  и  называются ортогональными (обозначение: ), если . В этом случае из 1, 3, 3' следует:

,

т. е. (теорема Пифагора!)

.

Пусть унитарное пространство  имеет конечное число измерений . Рассмотрим в  произвольный базис . Обозначим через  и   соответственно координаты векторов  и  в этом базисе:

.

Тогда в силу 2, 3, 2' и 3'

,                (4)

где

.                    (5)

В частности,

.                (6)

Из 1 и (5) следует

.                    (7)

Форма , где  , называется эрмитовой. Таким образом, квадрат длины вектора представляется в виде эрмитовой формы его координат. Отсюда и название эрмитова метрика. Форма, стоящая в правой части равенства (6), является в силу 4 неотрицательной

,                     (8)

при всех значениях переменных . В силу же дополнительного условия 5 эта форма будет положительно определенной, т. е. знак = в (8) будет иметь место только при равенстве нулю всех  .

Определение 2. Систему векторов  будем называть ортонормированной, если

.                  (9)

При , где  – число измерений пространства, получаем ортонормированный базис пространства.

В § 7 будет доказано, что с каждом -мерном унитарном пространстве существует ортонормированный базис.

Пусть  и   – соответственно координаты векторов  и  в ортонормированном базисе. Тогда в силу (4), (5) и (9)

                    (10)

Фиксируем произвольно некоторый базис в -мерном пространстве . При этом базисе каждая метризация пространства связана с некоторой положительно определенной эрмитовой формой , и наоборот, согласно (4) каждая такая форма определяет некоторую положительно определенную эрмитову метрику в . Однако все эти метрики не дают существенно различных унитарных -мерных пространств. Действительно, возьмем две такие метрики со скалярным произведением соответственно  и . По отношению к этим метрикам определим ортонормированные базисы в  и  . Отнесем друг другу векторы  и  из , имеющие в этих базисах одинаковые координаты. Это соответствие является аффинным. Кроме того, в силу (10)

.

Таким образом, с точностью до аффинного преобразования пространства все положительно определенные эрмитовы метризации -мерного векторного пространства совпадают друг с другом.

Если основным числовым полем  является поле вещественных чисел, то метрика, удовлетворяющая постулатам 1, 2, 3, 4 и 5, называется евклидовой.

Определение 3. Векторное, пространство  над полем вещественных чисел с положительно евклидовой метрикой называется евклидовым пространством.

Если  и   суть координаты векторов  и  в некотором базисе  -мерного евклидова пространства, то

.

Здесь   – вещественные числа. Выражение  называется квадратичной формой относительно . Из положительной определенности метрики вытекает, что квадратичная форма , задающая аналитически эту метрику, является положительно определенной, т. е. , если .

При ортонормированном базисе

.              (11)

При  получаем известные формулы для скалярного произведения двух векторов и для квадрата длины вектора в трехмерном евклидовом пространстве.