§ 3. Критерий Грама линейной зависимости векторов

Пусть векторы  унитарного или евклидова пространства  линейно зависимы, т. е. существуют такие не равные одновременно нулю числа , что

.               (12)

Умножив последовательно обе части этого равенства слева скалярно на , получим:

                      (13)

Рассматривая  как ненулевое решение системы линейных однородных уравнений (13) с определителем

,                       (14)

заключаем, что этот определитель равен нулю:

.

Определитель  называется определителем Грама, составленным для векторов .

Пусть, обратно, определитель Грама (14) равен нулю. Тогда система уравнений (13) имеет ненулевое решение . Равенства (13) можно записать так

               (13')

Умножая почленно эти равенства соответственно на  и складывая, получим:

;

отсюда в силу положительной определенности метрики

,

т. е. векторы  линейно зависимы.

Нами доказана

Теорема 1. Для того чтобы векторы  были линейно независимы, необходимо и достаточно, чтобы определитель Грама, составленный из этих векторов, не был равен нулю.

Отметим следующее свойство определителя Грама.

Если какой-либо главный минор определителя Грама равен нулю, то равен нулю и сам определитель Грама.

Действительно, главный минор является определителем Грама для части векторов. Из равенства нулю этого главного минора следует линейная зависимость между этими векторами, а значит, и между векторами полной системы.

Пример. Даны  комплексных функции  вещественного аргумента , кусочно непрерывных в замкнутом интервале . Требуется определить, при каком условии они будут линейно зависимы. Для этого мы в пространстве кусочно непрерывных в  функций введем положительно определенную метрику, полагая

.

Тогда критерий Грама (теорема 1) в применении к данным функциям даст искомое условие

.