§ 4. Ортогональное проектирование

Пусть в унитарном или в евклидовом пространстве  даны произвольный вектор  и некоторое -мерное подпространство  с базисом . Мы покажем, что вектор  можно (и притом единственным способом) представить в виде суммы

                (15)

(знаком  мы обозначаем ортогональность векторов; под ортогональностью к подпространству понимаем ортогональность ко всем векторам из этого подпространства);  – ортогональная проекция вектора  на подпространство ,  – проектирующий вектор.

Пример.  – трехмерное евклидово векторное пространство, а . Все векторы будем строить из фиксированной точки . Тогда  – плоскость, проходящая через ;  – ортогональная проекция вектора  на плоскость ;  – перпендикуляр, опущенный из конца вектора  на плоскость  (рис. 5);  - расстояние конца вектора  от плоскости .

 

Рис. 5.

 

Для установления разложения (15) искомое  представим в виде

,             (16)

где  – некоторые комплексные числа.

Для определения этих чисел будем исходить из соотношений

.                     (17)

Подставляя в (17) вместо  его выражение из (16), получим:

                    (18)

Рассматривая эту систему равенств как систему линейных однородных уравнений, имеющую ненулевое решение , приравниваем определитель этой системы нулю (предварительно транспонировав его относительно главной диагонали):

.                       (19)

Выделяя из этого определителя член, содержащий , получим (в легко понятных условных обозначениях)

,                (20)

где  – определитель Грама для векторов  (в силу линейной независимости этих векторов ). Из (15) и (20) находим

.            (21)

Формулы (20) и (21) выражают проекции  вектора  на подпространство  и проектирующий вектор  через данный вектор  и базис подпространства .

Обратим внимание еще на одну важную формулу. Обозначим через  длину вектора . Тогда в силу (15) и (21)

,

т. е.

.                  (22)

Величину  можно еще интерпретировать следующим образом:

Построим векторы  из одной точки и построим на этих векторах, как на ребрах, -мерный параллелепипед.  будет высотой этого параллелепипеда, опущенной из конца ребра  на основание , проходящее через ребра .

Пусть  – произвольный вектор в , а  – произвольный вектор в . Если все векторы построить из начала координат -мерного точечного пространства, то  и  будут соответственно равны величинам наклонной и высоты, проведенным из конца вектора  к гиперплоскости . Поэтому, записывая, что высота короче наклонной, будем иметь:

(знак равенства лишь при ). Таким образом, среди всех векторов  вектор  наименее уклоняется от заданного вектора . Величина  является квадратичной погрешностью при приближении .