§ 5. Геометрический смысл определителя Грама и некоторые неравенства

1. Рассмотрим произвольные векторы . Допустим сначала, что эти векторы линейно независимы. В этом случае определитель Грама, составленный для любых из этих векторов, будет отличен от нуля. Тогда, полагая согласно (22)

                 (23)

и перемножая почленно эти неравенства и неравенство

,                (24)

получим:

.

Таким образом, определитель Грама для линейно независимых векторов положителен, для линейно зависимых равен нулю. Отрицательным определитель Грама никогда не бывает.

Обозначим для сокращения  . Тогда из (23) и (24)

где  – площадь параллелограмма, построенного на  и . Далее,

,

где  – объем параллелепипеда, построенного на векторах . Продолжая далее, найдем:

,

и, наконец,

.                       (25)

Естественно  назвать объемом -мерного параллелепипеда, построенного на векторах , как на ребрах.

Обозначим через , координаты вектора   в некотором ортонормированном базисе в , и пусть

.

Тогда на основании (14)

и потому [см. формулу (25)]

.                       (26)

Это равенство имеет следующий геометрический смысл:

Квадрат объема параллелепипеда равен сумме квадратов объемов его проекций на все координатные -мерные подпространства. В частности, при  из (26) следует:

.                      (26)

При помощи формул (20), (21), (22), (26), (26') решается ряд основных метрических задач -мерной унитарной и евклидовой аналитической геометрии.

2. Вернемся к разложению (15). Из него непосредственно следует:

,

что в сочетании с (22) дает неравенство (для произвольных векторов )

;                       (27)

при этом знак равенства имеет место тогда и только тогда, когда вектор  ортогонален к векторам .

Отсюда нетрудно получить так называемое неравенство Адамара

,                (28)

где знак равенства имеет место тогда и только тогда, когда векторы  попарно ортогональны. Неравенство (29) выражает собой следующий геометрически очевидный факт:

Объем параллелепипеда не превосходит произведения длин его ребер и равен этому произведению лишь тогда, когда параллелепипед прямоугольный.

Неравенству Адамара можно придать его обычный вид, полагая в (28)  и вводя в рассмотрение определитель , составленный из координат  векторов  , в некотором ортонормированном базисе:

.

Тогда из (26') и (28) следует

.                   (28)

3. Установим теперь обобщенное неравенство Адамара, охватывающее как неравенство (27), так и неравенство (28):

,                  (29)

причем знак равенства имеет место тогда и только тогда, когда каждый из векторов  ортогонален к любому из векторов  либо один из определителей ,  равен нулю.

Неравенство (28') имеет следующий геометрический смысл:

Объем параллелепипеда не превосходит произведения объемов двух дополнительных граней и равен этому произведению в том и только в том случае, когда эти грани взаимно ортогональны либо хотя бы одна из них имеет нулевой объем.

Справедливость неравенства (29) установим индуктивно относительно числа векторов . Неравенство справедливо, когда это число равно 1 [см. формулу (27)].

Введем в рассмотрение два подпространства  и  соответственно с базисами  и . Очевидно, . Рассмотрим ортогональные разложения

.

Отсюда

.

Заменяя квадрат объема параллелепипеда произведением квадрата объема основания на квадрат высоты [см. формулу (22)], найдем

,             (30)

.                (30')

При этом из разложения вектора  следует:

,                  (31)

причем здесь знак  имеет место, лишь когда .

Используя теперь соотношения (30), (30'), (31) и предположение индукции, получим:

                (32)

Мы получили неравенство (29). Переходя к выяснению, когда в этом неравенстве имеет место знак , примем, что  и . Тогда согласно (30') также  и . Коль скоро в соотношениях (32) всюду имеет место знак равенства, то  и, кроме того, по предположению индукции, каждый из векторов  ортогонален к каждому из векторов . Этим свойством обладает, очевидно, и вектор

.

Таким образом, обобщенное неравенство Адамара установлено полностью.

4. Обобщённому неравенству Адамара (29) можно придать и аналитическую форму.

Пусть  – произвольная положительно определенная эрмитова форма. Рассматривая  как координаты вектора  в -мерном пространстве  при базисе , примем форму  за основную метрическую форму в  (см. стр. 224). Тогда  станет унитарным пространством. Применим обобщенное неравенство Адамара к базисным векторам :

.

Полагая  и замечая, что  , мы последнее неравенство сможем записать так:

;                   (33)

при этом знак равенства имеет место в том и только в том случае, когда  .

Неравенство (33) имеет место для матрицы коэффициентов  произвольной положительно определенной эрмитовой формы. В частности, неравенство (33) имеет место, если  - вещественная матрица коэффициентов положительно определенной квадратичной формы .

5. Обратим внимание читателя на неравенство Буняковского.

Для произвольных векторов

,               (34)

причем знак равенства имеет место лишь тогда, когда векторы  и  отличаются скалярным множителем.

Справедливость неравенства Буняковского сразу вытекает из установленного уже неравенства

.

По аналогии со скалярным произведением векторов в трехмерном евклидовом пространстве в -мерном унитарном пространстве можно ввести «угол»  между векторами  и , определив его из соотношения

.

Из неравенства Буняковского следует, что  имеет вещественное значение.