§ 6. Ортогонализация ряда векторов

1. Наименьшее подпространство, содержащее векторы , будем обозначать через . Это подпространство состоит из всевозможных линейных комбинаций векторов ( – комплексные числа). Если векторы линейно независимы, то они образуют базис подпространства . В этом случае это подпространство имеет измерений.

Два ряда векторов

содержащих одинаковое конечное или оба бесконечное число векторов, назовем эквивалентными, если для всех возможных

Ряд векторов

назовем невырожденным, если при любом возможном векторы линейно независимы.

Ряд векторов называется ортогональным, если любые два вектора этого ряда взаимно ортогональны.

Под ортогонализацией ряда векторов будем понимать замену этого ряда эквивалентным ортогональным рядом.

Теорема 2. Всякий невырожденный ряд векторов можно проортогонализировать. Процесс ортогонализации приводит к векторам, определенным однозначно с точностью до скалярных множителей.

Доказательство. 1. Докажем сначала вторую часть этой теоремы. Пусть два ортогональных ряда и эквивалентны одному и тому же невырожденному ряду . Тогда ряды и эквивалентны между собой. Поэтому при любом существуют числа такие, что

Умножая последовательно обе части этого равенства скалярно на и учитывая ортогональность ряда и соотношения

получим и, следовательно,

2. Конкретное осуществление процесса ортогонализации произвольного невырожденного ряда векторов дается следующим построением.

Пусть . Спроектируем ортогонально вектор на подпространство :

Положим

где – произвольные отличные от нуля числа.

Тогда (как легко видеть)

– ортогональный ряд, эквивалентный ряду . Теорема 2 доказана.

Согласно (21)

Полагая , получим для векторов проортогонализированного ряда следующие формулы:

. (35)

В силу (22)

. (36)

Поэтому, полагая

, (37)

получим ортонормированный ряд , эквивалентный данному ряду .

Пример. Определим скалярное произведение в пространстве кусочно непрерывных в интервале вещественных функций равенством

Рассмотрим невырожденный ряд «векторов»

Проортогонализируем его по формулам (35):

Эти ортогональные между собой многочлены с точностью до постоянных множителей совпадают с известными многочленами Лежандра:

Тот же ряд степеней при другой метрике

даст другой ряд ортогональных многочленов.

Так, например, при и получаются многочлены Чебышева

При и получаются многочлены Чебышева–Эрмита и т. д..

2. Отметим еще так называемое неравенство Бесселя для ортонормированного ряда векторов . Пусть дан произвольный вектор . Обозначим через проекцию этого вектора на орт :

Тогда проекция вектора на подпространство представится в виде [см. (20)]

Но . Поэтому для произвольного

. (38)

Это – неравенство Бесселя.

В случае конечномерного пространства измерений это неравенство имеет совершенно очевидный геометрический смысл. При оно переходит в равенство Пифагора

В случае бесконечномерного пространства и бесконечного ряда из (38) следуют сходимость ряда и неравенство

Составим ряд

-й отрезок этого ряда (при любом )

равен проекции вектора на подпространство и потому является наилучшим приближением для вектора в этом подпространстве:

где – произвольные комплексные числа. Вычислим соответствующее квадратичное отклонение :

Отсюда

Если

то говорят, что ряд сходится в среднем (сходится по норме) к вектору .

В этом случае для вектора из имеет место равенство (теорема Пифагора в бесконечномерном пространстве!)

. (39)

Если для любого вектора из ряд в среднем сходится к вектору , то ортонормированный ряд векторов называется полным. В этом случае, заменяя в (39) на и используя равенство (39) трижды, для векторов и мы легко получим: