§ 7. Ортонормированный базис

Базис любого конечномерного подпространства  в унитарном или евклидовом пространстве  является невырожденным рядом векторов и потому согласно теореме 2 предыдущего параграфа может быть проортогонализирован и пронормирован. Таким образом, в любом конечномерном подпространстве  (и, в частности, во всем пространстве , если оно конечномерно) существует ортонормированный базис.

Пусть  – ортонормированный базис пространства . Обозначим через  координаты произвольного вектора  в этом базисе:

.

Умножая обе части этого равенства справа на  и учитывая ортонормированность базиса, легко найдем:

,

т. е. в ортонормированном базисе координата вектора равна скалярному произведению его на соответствующий базисный орт

.                    (41)

Пусть  и  суть соответственно координаты одного и того же вектора  в двух различных ортонормированных базисах  и  унитарного пространства . Формулы преобразования координат имеют вид

.                       (42)

При этом коэффициенты , образующие -й столбец матрицы , являются, как нетрудно видеть, координатами вектора  в базисе . Поэтому, записывая в координатах [см. (10)] условия ортонормированности базиса , получим соотношения

                (43)

Преобразование (42), у которого коэффициенты удовлетворяют условию (43), называется унитарным, а соответствующая матрица  – унитарной матрицей. Таким образом, в -мерном унитарном пространстве переход от одного ортонормированного базиса к другому ортонормированному осуществляется при помощи унитарного преобразования координат.

Пусть дано -мерное евклидово пространство . Переход от одного ортонормированного базиса в  к другому осуществляется при помощи преобразования координат

,                       (44)

коэффициенты которого связаны между собой соотношениями

.                    (45)

Такое преобразование координат называется ортогональным, а соответствующая матрица  – ортогональной матрицей.

Отметим интересную матричную запись процесса ортогонализации. Пусть  – произвольная неособенная матрица  с комплексными элементами. Рассмотрим унитарное пространство  с ортонормированным базисом  и определим линейно независимые векторы  равенством

.

Подвергнем векторы  процессу ортогонализации. Полученный ортонормированный базис в  обозначим через . Пусть при этом

.

Тогда

,

т. е.

где   – некоторые комплексные числа.

Полагая  при  , будем иметь

.

Переходя здесь к координатам и вводя верхнюю треугольную матрицу  и унитарную матрицу , получим:

,

или

.                     (*)

Согласно этой формуле произвольная неособенная матрица  представима в виде произведения унитарной матрицы  на верхнюю треугольную .

Так как процесс ортогонализации однозначно определяет векторы  с точностью до скалярных множителей  , то в формуле множители  и  определяются однозначно с точностью до диагонального множителя :

.

В этом можно убедиться и непосредственно.

Замечание 1. Если  – вещественная матрица, то в формуле (*) множители  и  можно выбрать вещественными. В этом случае  – ортогональная матрица.

Замечание 2. Формула (*) сохраняет свою силу и для особенной матрицы  . В этом можно убедиться, полагая , где  .

Тогда  . Выделяя из последовательности  сходящуюся подпоследовательность   и переходя к пределу, из равенства  при , получим искомое разложение . Однако в случае  множители  и  уже не определяются однозначно с точностью до диагонального множителя .

Замечание 3. Вместо (*) можно получить формулу

,                   (**)

где  – нижняя треугольная, a  – унитарная матрица. Действительно, применяя установленную ранее формулу (*) к транспонированной матрице

и полагая , получим (**).