§ 8. Сопряженный оператор

Пусть в -мерном унитарном пространстве  задан произвольный линейный оператор.

Определение 4. Линейный оператор  называется сопряженным по отношению к оператору  в том и только в том случае, если для любых двух векторов  из  выполняется равенство

.               (46)

Мы докажем, что для каждого линейного оператора  существует сопряженный оператор  и притом только один. Для доказательства выберем в  некоторый ортонормированный базис . Тогда [см. (41)] для искомого оператора  и произвольного вектора  из  должно выполняться равенство

.

В силу (46) это равенство может быть переписано так:

.                       (47)

Примем теперь равенство (47) за определение оператора .

Легко проверить, что определенный таким образом оператор  является линейным и удовлетворяет равенству (46) при произвольных векторах  и  из . Кроме того, равенство (47) однозначно определяет оператор . Таким образом, устанавливаются существование и единственность сопряженного оператора .

Пусть  – линейный оператор в унитарном пространстве, а  – матрица, отвечающая этому оператору в ортонормированном базисе . Тогда, применяя формулу (41) к вектору  получим:

.                    (48)

Пусть теперь сопряженному оператору  в этом же базисе отвечает матрица . Тогда по формуле (48)

.                   (49)

Из (48) и (49) в силу (46) следует:

,

т. е.

.

Матрица  является транспонированной и комплексно сопряженной для . Такую матрицу принято называть (см. главу I) сопряженной по отношению к .

Таким образом, в ортонормированном базисе сопряженным операторам отвечают сопряженные матрицы.

Из определения сопряженного оператора вытекают следующие его свойства:

1. ,

2. ,

3.  ( – скаляр),

4. .

Введем теперь одно важное понятие. Пусть  – произвольное подпространство в . Обозначим через  совокупность всех векторов  из , ортогональных к . Легко видеть, что  есть тоже подпространство в  и что каждый вектор  из  однозначно представляется в виде суммы , где , т. е. имеет место расщепление

.

Это расщепление получаем, применяя к произвольному вектору  из  разложение (15) предыдущего параграфа.  называется ортогональным дополнением к . Очевидно,  будет ортогональным дополнением к . Мы пишем , понимая под этим то, что любой вектор из  ортогонален любому вектору из .

Теперь мы сможем сформулировать фундаментальное свойство сопряженного оператора:

5. Если некоторое подпространство  инвариантно относительно , то ортогональное дополнение  этого подпространства будет инвариантно относительно .

Действительно, пусть . Тогда из  следует  и отсюда в силу (46) . Так как  – произвольный вектор из , то , что и требовалось доказать.

Введем следующее определение:

Определение 5. Две системы векторов  и  назовем биортонормированными, если

,                   (50)

где  - символ Кронекера.

Теперь докажем следующее предложение:

6. Если  – линейный оператор простой структуры, то сопряженный оператор  также имеет простую структуру, причем можно так выбрать полные системы собственных векторов  и  операторов  и , чтобы они были биортонормированы:

.

Действительно, пусть  – полная система собственных векторов оператора . Введем обозначение

.

Рассмотрим одномерное ортогональное дополнение  к –мерному подпространству  . Тогда  инвариантно относительно :

.

Из  следует: , так как в противном случае вектор  должен был бы равняться нулю. Помножая   на надлежащие числовые множители, получим:

.

Из биортонормированности систем векторов  и  следует, что векторы каждой из этих систем линейно независимы.

Отметим еще такое предложение:

7. Если операторы  и  имеют общий собственный вектор, то характеристические числа этих операторов, отвечающие общему собственному вектору, комплексно сопряжены.

В самом деле, пусть  . Тогда, полагая в (46) , будем иметь , откуда .

8. Пусть  – собственный вектор оператора  и пусть  – ортогональное дополнение к одномерному подпространству . Поскольку , то согласно утверждению 5. подпространство инвариантно относительно оператора . Таким образом, у всякого линейного оператора в -мерном унитарном пространстве существует -мерное инвариантное подпространство.

Рассматривая далее оператор  в подпространстве , мы сможем указать на основании установленного предложения -мерное инвариантное подпространство  оператора , принадлежащее . Повторяя рассуждение, мы построим цепочку из  последовательно вложенных инвариантных подпространств оператора  (индекс наверху указывает размерность):

.

Пусть теперь  – нормированный вектор, принадлежащий . Выберем в  нормированный вектор  такой, что . В  найдем нормированный вектор  такой, что  и . Продолжая этот процесс, мы построим ортонормированный базис векторов

,

обладающий тем свойством, что каждое подпространство, натянутое на первые  базисных векторов

,

инвариантно относительно оператора .

Пусть теперь  – матрица оператора  в построенном базисе. Мы имеем , где . Поскольку  принадлежит , то при   и, следовательно, матрица оператора является верхней треугольной. Мы пришли к следующей теореме:

Для любого линейного оператора  в -мерном унитарном пространстве можно построить ортонормированный базис, в котором матрица этого оператора является треугольной.

Это предложение принято называть теоремой Шура. Разумеется, привлекая общую теорему о приведении матрицы оператора к жордановой форме, легко доказать теорему Шура последовательной ортогонализацией жорданова базиса. Приведенное доказательство по существу использует лишь существование у линейного оператора, действующего в -мерном унитарном пространстве, собственного вектора.