§ 9. Нормальные операторы в унитарном пространстве

Определение 6. Линейный оператор  называется нормальным, если он перестановочен со своим сопряженным:

.               (51)

Определение 7. Линейный оператор  называется эрмитовым, если он равен своему сопряженному:

.                    (52)

Определение 8. Линейный оператор  называется унитарным, если он обращён своему сопряженному

.                  (53)

Заметим, что унитарный оператор можно определить как изометричный оператор в эрмитовом пространстве, т. е. как оператор, сохраняющий метрику.

Действительно, пусть при произвольных векторах  и  из

.                 (54)

Тогда согласно (46)  и, следовательно, в силу произвольности вектора  , т. е.  или . Обратно, из (53) следует (54).

Из (53) или (54) вытекает, что 1. произведение двух унитарных операторов есть снова унитарный оператор, 2. единичный оператор  является унитарным и 3. обратный оператор для унитарного есть также унитарный оператор. Поэтому совокупность всех унитарных операторов является группой. Эту группу называют унитарной группой.

Эрмитов оператор и унитарный оператор являются частными видами нормального оператора.

Теорема 3. Произвольный линейный оператор  всегда можно представить в виде

,                        (55)

где  и  – эрмитовы операторы (эрмитовы компоненты оператора ). Эрмитовы компоненты однозначно определяются заданием оператора . Оператор  нормален тогда и только тогда, когда его эрмитовы компоненты  и  перестановочны между собой.

Доказательство. Пусть имеет место (55). Тогда

.                      (56)

Из (55) и (56) находим:

.                (57)

Обратно, формулы (57) определяют эрмитовы операторы  и , связанные с  равенством (55).

Пусть теперь  – нормальный оператор: . Тогда из (57) следует: . Обратно, из  в силу (55) и (56) следует: . Теорема доказана.

Представление произвольного линейного оператора  в виде (55) является аналогом представления произвольного комплексного числа  в виде , где  и  – вещественные числа.

Пусть в некотором ортонормированном базисе операторам  и  отвечают соответственно матрицы . Тогда операторным равенствам

                  (58)

будут соответствовать матричные равенства

.                 (59)

Поэтому мы и определяем нормальную матрицу как матрицу, перестановочную со своей сопряженной, эрмитову как равную своей сопряженной и, наконец, унитарную как обратную своей сопряженной.

Тогда в ортонормированном базисе нормальному (эрмитову, унитарному) оператору отвечает соответственно нормальная (эрмитова, унитарная) матрица.

Эрмитова матрица  в силу (59) характеризуется следующими соотношениями между элементами:

,

т. е. эрмитова матрица всегда является матрицей коэффициентов некоторой эрмитовой формы (см. § 1).

Унитарная матрица  в силу (59) характеризуется следующими соотношениями между элементами:

.                    (60)

Так как из  следует , то из (60) следуют эквивалентные соотношения

.                    (61)

Равенства (60) выражают собой ортонормированность строк, а равенства (61) – ортонормированность столбцов в матрице .

Унитарная матрица является матрицей коэффициентов некоторого унитарного преобразования (см. § 7).

Оператор , осуществляющий ортогональное проектирование векторов унитарного пространства  на заданное подпространство , является эрмитовым проекционным оператором.

Действительно, этот оператор является проекционным, т. е.  (см. гл. III, §6). Далее, из ортогональности векторов  и   следует:

.

Отсюда в силу произвольности векторов

,

т. е. . Из этого равенства следует, что  – эрмитов оператор, так как .