§ 10. Спектр нормальных, эрмитовых, унитарных операторов
Установим предварительно одно свойство перестановочных операторов, сформулировав его в виде леммы.
Лемма 1. Перестановочные операторы
и
всегда имеют общий собственный вектор.
Доказательство. Пусть
есть собственный вектор оператора
. Тогда в силу перестановочности операторов
и 
. (62)
Пусть в ряду векторов
,
первые
векторов линейно независимы, в то время как
-й вектор
является уже линейной комбинацией предыдущих. Тогда подпространство
будет инвариантно относительно
и потому в этом подпространстве
будет существовать собственный вектор
оператора
. С другой стороны, равенства (62) показывают, что векторы
являются собственными векторами оператора
, отвечающими одному и тому же характеристическому числу
. Поэтому и любая линейная комбинация этих векторов, в частности вектор
, будет собственным вектором оператора
, отвечающим характеристическому числу
. Таким образом, доказано существование общего собственного вектора операторов
и
.
Пусть
– произвольный нормальный оператор в
-мерном эрмитовом пространстве
. В этом случае операторы
и
перестановочны между собой и потому имеют общий собственный вектор
. Тогда (см. § 8, 7.)
.
Обозначим через
одномерное подпространство, содержащее вектор
, а через
– ортогональное дополнение для
в
:
.
Так как
инвариантно относительно
и
, то (см. § 8, 5,)
также инвариантно относительно этих операторов. Поэтому перестановочные операторы
и
имеют согласно лемме 1 общий собственный вектор
в
:
.
Очевидно,
. Полагая
и
,
мы аналогичными соображениями установим существование в
общего собственного вектора
операторов
и
. Очевидно,
и
. Продолжая этот процесс далее, мы получим
попарно ортогональных общих собственных векторов
операторов
и
:
(63)
Векторы
можно пронормировать. При этом равенства (63) сохранятся.
Таким образом, мы доказали, что нормальный оператор всегда имеет полную ортонормированную систему собственных векторов.
Так как из
всегда следует
, то из равенств (63) вытекает:
1. Если оператор
нормален, то каждый собственный вектор оператора
является собственным вектором сопряженного оператора
, т. е. если оператор
нормален, то операторы
и
имеют одни и те же собственные векторы.
Пусть теперь, обратно, дано, что линейный оператор
имеет полную ортонормированную систему собственных векторов:
.
Докажем, что в этом случае
является нормальным оператором. Действительно, положим:
.
Тогда
.
Отсюда следует:
,
т. е. имеют место все равенства (63).
Но тогда
и
,
откуда
.
Таким образом, мы получили следующую «внутреннюю» (спектральную) характеристику нормального оператора
(наряду с «внешней»:
):
Теорема 4. Линейный оператор тогда и только тогда является нормальным, когда этот оператор имеет полную ортонормированную систему собственных векторов.
В частности, нами доказано, что нормальный оператор всегда является оператором простой структуры.
Пусть
– нормальный оператор с характеристическими числами
. По интерполяционной формуле Лагранжа определим два многочлена
и
из условий
.
Тогда в силу (63)
, (64)
т. е.
2. Для нормального оператора
каждый из операторов
и
представим в виде многочлена от другого из операторов; при этом эти два многочлена определяются заданием характеристических чисел оператора
.
Пусть
– инвариантное подпространство в
для нормального оператора
и
. Тогда согласно § 8, 5. (стр. 241) подпространство
инвариантно относительно
. Но
, где
– многочлен. Поэтому
инвариантно и относительно данного оператора
. Таким образом,
3. Если
– инвариантное подпространство относительно нормального оператора
, а
– ортогональное дополнение к
, то и
является инвариантным подпространством для
.
Остановимся теперь на спектре эрмитова оператора. Так как эрмитов оператор
является частным видом нормального оператора, то по доказанному он имеет полную ортонормированную систему собственных векторов:
. (65)
Из
следует:
, (66)
т. е. все характеристические числа эрмитова оператора
вещественны.
Нетрудно видеть, что и обратно, нормальный оператор с вещественными характеристическими числами всегда эрмитов. В самом деле, из (65), (66) и

следует:
,
т. е.
.
Таким образом, мы получили следующую «внутреннюю» характеристику эрмитова оператора (наряду с «внешней»:
):
Теорема 5. Линейный оператор
является эрмитовым тогда и только тогда, когда он имеет полную ортонормированную систему собственных векторов с вещественными характеристическими числами.
Остановимся теперь на спектре унитарного оператора. Поскольку унитарный оператор
является нормальным, то он имеет полную ортонормированную систему собственных векторов
. (67)
При этом
. (68)
Из
находим:
. (69)
Обратно, из (67), (68), (69) следует:
. Таким образом, среди нормальных операторов унитарный оператор выделяется тем, что у него все характеристические числа по модулю равны единице.
Мы получили следующую «внутреннюю» характеристику унитарного оператора (наряду с «внешней»:
):
Теорема 6. Линейный оператор тогда и только тогда является унитарным, когда он имеет полную ортонормированную систему собственных векторов с характеристическими числами, по модулю равными единице.
Так как в ортонормированном базисе нормальная (эрмитова, унитарная матрица соответственно определяет нормальный (эрмитов, унитарный) оператор, то получаем следующие предложения:
Теорема 4'. Матрица
является нормальной тогда и только тогда, когда она унитарно-подобна диагональной матрице:
. (70)
Теорема 5'. Матрица
является эрмитовой тогда и только тогда, когда она унитарно-подобна диагональной матрице с вещественными числами на диагонали:
. (71)
Теорема 6'. Матрица
является унитарной тогда и только тогда, если она унитарно-подобна диагональной матрице с диагональными элементами, по модулю равными единице:
. (72)