§ 10. Спектр нормальных, эрмитовых, унитарных операторов

Установим предварительно одно свойство перестановочных операторов, сформулировав его в виде леммы.

Лемма 1. Перестановочные операторы и всегда имеют общий собственный вектор.

Доказательство. Пусть есть собственный вектор оператора . Тогда в силу перестановочности операторов и

. (62)

Пусть в ряду векторов

первые векторов линейно независимы, в то время как -й вектор является уже линейной комбинацией предыдущих. Тогда подпространство будет инвариантно относительно и потому в этом подпространстве будет существовать собственный вектор оператора . С другой стороны, равенства (62) показывают, что векторы являются собственными векторами оператора , отвечающими одному и тому же характеристическому числу . Поэтому и любая линейная комбинация этих векторов, в частности вектор , будет собственным вектором оператора , отвечающим характеристическому числу . Таким образом, доказано существование общего собственного вектора операторов и .

Пусть – произвольный нормальный оператор в -мерном эрмитовом пространстве . В этом случае операторы и перестановочны между собой и потому имеют общий собственный вектор . Тогда (см. § 8, 7.)

Обозначим через одномерное подпространство, содержащее вектор , а через – ортогональное дополнение для в :

Так как инвариантно относительно и , то (см. § 8, 5,) также инвариантно относительно этих операторов. Поэтому перестановочные операторы и имеют согласно лемме 1 общий собственный вектор в :

Очевидно, . Полагая и

мы аналогичными соображениями установим существование в общего собственного вектора операторов и . Очевидно, и . Продолжая этот процесс далее, мы получим попарно ортогональных общих собственных векторов операторов и :

(63)

Векторы можно пронормировать. При этом равенства (63) сохранятся.

Таким образом, мы доказали, что нормальный оператор всегда имеет полную ортонормированную систему собственных векторов.

Так как из всегда следует , то из равенств (63) вытекает:

1. Если оператор нормален, то каждый собственный вектор оператора является собственным вектором сопряженного оператора , т. е. если оператор нормален, то операторы и имеют одни и те же собственные векторы.

Пусть теперь, обратно, дано, что линейный оператор имеет полную ортонормированную систему собственных векторов:

Докажем, что в этом случае является нормальным оператором. Действительно, положим:

Тогда

Отсюда следует:

т. е. имеют место все равенства (63).

Но тогда

и ,

откуда

Таким образом, мы получили следующую «внутреннюю» (спектральную) характеристику нормального оператора (наряду с «внешней»: ):

Теорема 4. Линейный оператор тогда и только тогда является нормальным, когда этот оператор имеет полную ортонормированную систему собственных векторов.

В частности, нами доказано, что нормальный оператор всегда является оператором простой структуры.

Пусть – нормальный оператор с характеристическими числами . По интерполяционной формуле Лагранжа определим два многочлена и из условий

Тогда в силу (63)

, (64)

т. е.

2. Для нормального оператора каждый из операторов и представим в виде многочлена от другого из операторов; при этом эти два многочлена определяются заданием характеристических чисел оператора .

Пусть – инвариантное подпространство в для нормального оператора и . Тогда согласно § 8, 5. (стр. 241) подпространство инвариантно относительно . Но , где – многочлен. Поэтому инвариантно и относительно данного оператора . Таким образом,

3. Если – инвариантное подпространство относительно нормального оператора , а – ортогональное дополнение к , то и является инвариантным подпространством для .

Остановимся теперь на спектре эрмитова оператора. Так как эрмитов оператор является частным видом нормального оператора, то по доказанному он имеет полную ортонормированную систему собственных векторов:

. (65)

Из следует:

, (66)

т. е. все характеристические числа эрмитова оператора вещественны.

Нетрудно видеть, что и обратно, нормальный оператор с вещественными характеристическими числами всегда эрмитов. В самом деле, из (65), (66) и

следует:

т. е.

Таким образом, мы получили следующую «внутреннюю» характеристику эрмитова оператора (наряду с «внешней»: ):

Теорема 5. Линейный оператор является эрмитовым тогда и только тогда, когда он имеет полную ортонормированную систему собственных векторов с вещественными характеристическими числами.

Остановимся теперь на спектре унитарного оператора. Поскольку унитарный оператор является нормальным, то он имеет полную ортонормированную систему собственных векторов

. (67)

При этом

. (68)

Из находим:

. (69)

Обратно, из (67), (68), (69) следует: . Таким образом, среди нормальных операторов унитарный оператор выделяется тем, что у него все характеристические числа по модулю равны единице.

Мы получили следующую «внутреннюю» характеристику унитарного оператора (наряду с «внешней»: ):

Теорема 6. Линейный оператор тогда и только тогда является унитарным, когда он имеет полную ортонормированную систему собственных векторов с характеристическими числами, по модулю равными единице.

Так как в ортонормированном базисе нормальная (эрмитова, унитарная матрица соответственно определяет нормальный (эрмитов, унитарный) оператор, то получаем следующие предложения:

Теорема 4'. Матрица является нормальной тогда и только тогда, когда она унитарно-подобна диагональной матрице:

. (70)

Теорема 5'. Матрица является эрмитовой тогда и только тогда, когда она унитарно-подобна диагональной матрице с вещественными числами на диагонали:

. (71)

Теорема 6'. Матрица является унитарной тогда и только тогда, если она унитарно-подобна диагональной матрице с диагональными элементами, по модулю равными единице:

. (72)