§ 11. Неотрицательные и положительно определенные эрмитовы операторы

Введем следующее определение.

Определение 9. Эрмитов оператор называется неотрицательным, если для любого вектора из

и положительно определенным, если для любого вектора из

Если задать вектор его координатами в произвольном ортонормированном базисе, то , как легко видеть, представится в виде эрмитовой формы от переменных , причем неотрицательному (соответственно положительно определенному) оператору будет отвечать неотрицательная (соответственно положительно определенная) эрмитова форма (см. § 1).

Выберем ортонормированный базис из собственных векторов оператора :

. (73)

Тогда, полагая , будем иметь:

Отсюда сразу следует внутренняя характеристика неотрицательного и положительно определенного оператора:

Теорема 7. Эрмитов оператор тогда и только тогда является неотрицательным (соответственно положительно определенным), если все его характеристические числа неотрицательны (соответственно положительны).

Из сказанного вытекает, что положительно определенный эрмитов оператор есть неособенный неотрицательный эрмитов оператор.

Пусть – неотрицательный эрмитов оператор. Для него имеют место равенства (73) с . Положим и определим линейный оператор равенствами

. (74)

Тогда будет также неотрицательным оператором, причем

. (75)

Неотрицательный эрмитов оператор , связанный с равенством (75), будем называть арифметическим корнем квадратным из оператора и будем обозначать так:

Если – положительно определенный оператор, то и будет положительно определенным.

Определим интерполяционный многочлен Лагранжа равенствами

. (76)

Тогда из (73), (74) и (76) следует

. (77)

Последнее равенство показывает, что является многочленом от и однозначно определяется заданием неотрицательного эрмитова оператора (коэффициенты многочлена зависят от характеристических чисел оператора ).

Примерами неотрицательных эрмитовых операторов являются операторы и , где – произвольный линейный оператор в данном пространстве. Действительно, при произвольном векторе

Если оператор неособенный, то и – положительно определенные эрмитовы операторы.

Операторы и мы будем называть левым и правым модулями оператора .

У нормального оператора левый и правый модули равны между собой.