§ 12. Полярное разложение линейного оператора в унитарном пространстве. Формулы КэлиДокажем следующую теорему: Теорема 8. Произвольный линейный оператор в унитарном пространстве всегда представим в виде , (78) , (79) где – неотрицательные эрмитовы, a – унитарные операторы. Оператор нормален тогда и только тогда, когда в разложении (78) [или в (79)] множители и (соответственно и ) перестановочны между собой. Доказательство. Из разложений (78) и (79) следует, что и являются соответственно левым и правым модулями оператора . Действительно, . Заметим, что достаточно установить разложение (78), так как, применяя это разложение к оператору , получим и, следовательно, , т. е. разложение (79) для оператора . Установим сначала разложение (78) для частного случая, когда – неособенный оператор . Полагаем: (при этом ), и проверяем унитарность оператора : . Заметим, что в рассматриваемом случае в разложении (78) не только первый множитель , но и второй однозначно определяются заданием неособенного оператора . Рассмотрим теперь общий случай, когда может быть и особенным оператором. Заметим прежде всего, что полная ортонормированная система собственных векторов оператора всегда преобразуется оператором снова в ортогональную же систему векторов. Действительно, пусть . Тогда . При этом . Поэтому существует такая ортонормированная система векторов , что . (80) Определим линейные операторы и равенствами . (81) Из (80) и (81) находим . При этом в силу (81) – неотрицательный эрмитов оператор, поскольку он имеет полную ортонормированную систему собственных векторов и неотрицательные характеристические числа , a – унитарный оператор, ибо он переводит ортонормированную систему векторов снова в ортонормированную . Таким образом, можно считать доказанным, что для произвольного линейного оператора имеют место разложения (78) и (79), причем эрмитовы множители и всегда однозначно определяются заданием оператора (они суть соответственно левый и правый модули оператора ), а унитарные множители и определяются однозначно лишь в случае неособенного . Из (78) легко находим . (82) Если – нормальный оператор , то из (82) вытекает: . (83) Поскольку (см. § 11), то из (83) следует перестановочность с . Обратно, если и перестановочны между собой, то из (82) вытекает, что – нормальный оператор. Теорема доказана. Вряд ли необходимо особо отмечать то, что наряду с операторными равенствами (78) и (79) имеют место соответствующие матричные равенства. Характеристические числа оператора (которые в силу (82) являются также характеристическими числами оператора ), называют иногда сингулярными числами оператора . Разложения (78) и (79) являются аналогом представления комплексного числа в виде , где , а . Пусть теперь – полная ортонормированная система собственных векторов произвольного унитарного оператора . Тогда , (84) где – вещественные числа. Определим эрмитов оператор равенствами . (85) Тогда . (85') Из (84) и (85) следует . (86) Таким образом, унитарный оператор всегда представим в виде (86), где – эрмитов оператор. Обратно, если – эрмитов оператор, то – унитарный оператор. Разложения (78) и (79) вместе с (86) дают следующие равенства: , (87) , (88) где – эрмитовы операторы и притом и неотрицательны. Разложения (87) и (88) являются аналогом представления комплексного числа в виде , где и – вещественные числа. Замечание. В равенстве (86) оператор не определяется однозначно заданием оператора . Действительно, оператор определяется при помощи чисел , а к каждому из этих чисел можно прибавить произвольную кратность , не изменяя исходных равенств (84). Выбирая надлежащим образом эти слагаемые, кратные , мы можем достичь того, чтобы из всегда следовало: . Тогда можно определить интерполяционный многочлен равенствами . (89) Из (84), (85) и (89) будет следовать: . (90) Совершенно аналогично можно нормировать выбор так, чтобы , (91) где – некоторый многочлен. В силу (90) и (91) перестановочность и ( и ) влечет перестановочность и (соответственно и ) и наоборот. Поэтому согласно теореме 8 оператор будет нормальным тогда и только тогда, когда в формуле (87) и (или в формуле (88) и ) перестановочны между собой, если только характеристические числа оператора (соответственно ) надлежащим образом нормированы. В основе формулы (86) лежит тот факт, что функциональная зависимость (92) переводит произвольных чисел на вещественной оси в некоторые числа , лежащие на окружности , и наоборот. Трансцендентную зависимость (92) можно заменить рациональной зависимостью , (93) которая переводит вещественную ось в окружность ; при этом бесконечно удаленная точка на вещественной оси переходит в точку . Из (93) находим: . (94) Повторяя рассуждения, которые привели нас к формуле (86), мы из (93) и (94) получим две взаимно обратные формулы: (95) Мы получили формулы Кэли. Эти формулы устанавливают взаимно однозначное соответствие между произвольными эрмитовыми операторами и теми унитарными операторами , у которых среди характеристических чисел нет . Формулы (86), (87), (88) и (95), конечно, будут верны и тогда, когда мы в них все операторы заменим соответствующими матрицами. Пользуясь полярным разложением матрицы ранга : (96) и формулой (71) , (97) можно произвольную квадратную матрицу ранга представить в виде произведения , (98) где и – унитарные матрицы , а – диагональная матрица , (98') в которой диагональные элементы являются характеристическими числами правого модуля (а следовательно, и левого модуля ) матрицы . Формулу (98) можно записать в виде , (99) где и – -матрицы, образованные первыми столбцами унитарных матриц и , а – диагональная матрица -го порядка: . (100) Пусть теперь – произвольная прямоугольная -матрица ранга . Примем сначала, что . Дополним матрицу нулевыми строками до квадратной матрицы , после чего применим формулу . (101) Представим -матрицу в виде Тогда из равенства (101) найдем: (102) и . (103) Умножим обе части этого равенства справа на . Тогда, поскольку , получим: , т.е. . Но тогда столбцы матрицы , как и столбцы матрицы , унитарно-ортогональны между собой и нормированы. Случай сводится к случаю , если применить сначала формулу к матрице , а затем из полученного равенства определить матрицу . Мы установили следующую теорему: Теорема 9. Произвольная прямоугольная -матрица ранга всегда представима в виде произведения , (104) где и – унитарные по отношению к столбцам прямоугольные матрицы соответственно размеров и , а – диагональная матрица -го порядка с положительными диагональными элементами . Полагая , мы приходим к установленному в главе I (стр. 32) разложению , (105) где матрицы и имеют соответствующие размеры и . Однако доказанная теорема дает уточнение этого разложения. Она утверждает, что множители и могут быть выбраны так, чтобы в матрице все столбцы, а в матрице все строки были унитарно-ортогональны между собой.
|