§ 12. Полярное разложение линейного оператора в унитарном пространстве. Формулы Кэли
Докажем следующую теорему:
Теорема 8. Произвольный линейный оператор
в унитарном пространстве всегда представим в виде
, (78)
, (79)
где
– неотрицательные эрмитовы, a
– унитарные операторы. Оператор
нормален тогда и только тогда, когда в разложении (78) [или в (79)] множители
и
(соответственно
и
) перестановочны между собой.
Доказательство. Из разложений (78) и (79) следует, что
и
являются соответственно левым и правым модулями оператора
.
Действительно,
.
Заметим, что достаточно установить разложение (78), так как, применяя это разложение к оператору
, получим
и, следовательно,
,
т. е. разложение (79) для оператора
.
Установим сначала разложение (78) для частного случая, когда
– неособенный оператор
. Полагаем:
(при этом
), 
и проверяем унитарность оператора
:
.
Заметим, что в рассматриваемом случае в разложении (78) не только первый множитель
, но и второй
однозначно определяются заданием неособенного оператора
.
Рассмотрим теперь общий случай, когда
может быть и особенным оператором. Заметим прежде всего, что полная ортонормированная система собственных векторов оператора
всегда преобразуется оператором
снова в ортогональную же систему векторов. Действительно, пусть
.
Тогда
.
При этом
.
Поэтому существует такая ортонормированная система векторов
, что
. (80)
Определим линейные операторы
и
равенствами
. (81)
Из (80) и (81) находим
.
При этом в силу (81)
– неотрицательный эрмитов оператор, поскольку он имеет полную ортонормированную систему собственных векторов
и неотрицательные характеристические числа
, a
– унитарный оператор, ибо он переводит ортонормированную систему векторов
снова в ортонормированную
.
Таким образом, можно считать доказанным, что для произвольного линейного оператора
имеют место разложения (78) и (79), причем эрмитовы множители
и
всегда однозначно определяются заданием оператора
(они суть соответственно левый и правый модули оператора
), а унитарные множители
и
определяются однозначно лишь в случае неособенного
.
Из (78) легко находим
. (82)
Если
– нормальный оператор
, то из (82) вытекает:
. (83)
Поскольку
(см. § 11), то из (83) следует перестановочность
с
. Обратно, если
и
перестановочны между собой, то из (82) вытекает, что
– нормальный оператор. Теорема доказана.
Вряд ли необходимо особо отмечать то, что наряду с операторными равенствами (78) и (79) имеют место соответствующие матричные равенства.
Характеристические числа оператора
(которые в силу (82) являются также характеристическими числами оператора
), называют иногда сингулярными числами оператора
.
Разложения (78) и (79) являются аналогом представления комплексного числа
в виде
, где
, а
.
Пусть теперь
– полная ортонормированная система собственных векторов произвольного унитарного оператора
. Тогда
, (84)
где
– вещественные числа. Определим эрмитов оператор
равенствами
. (85)
Тогда
. (85')
Из (84) и (85) следует
. (86)
Таким образом, унитарный оператор
всегда представим в виде (86), где
– эрмитов оператор. Обратно, если
– эрмитов оператор, то
– унитарный оператор.
Разложения (78) и (79) вместе с (86) дают следующие равенства:
, (87)
, (88)
где
– эрмитовы операторы и притом
и
неотрицательны.
Разложения (87) и (88) являются аналогом представления комплексного числа
в виде
, где
и
– вещественные числа.
Замечание. В равенстве (86) оператор
не определяется однозначно заданием оператора
. Действительно, оператор
определяется при помощи чисел
, а к каждому из этих чисел можно прибавить произвольную кратность
, не изменяя исходных равенств (84). Выбирая надлежащим образом эти слагаемые, кратные
, мы можем достичь того, чтобы из
всегда следовало:
. Тогда можно определить интерполяционный многочлен
равенствами
. (89)
Из (84), (85) и (89) будет следовать:
. (90)
Совершенно аналогично можно нормировать выбор
так, чтобы
, (91)
где
– некоторый многочлен.
В силу (90) и (91) перестановочность
и
(
и
) влечет перестановочность
и
(соответственно
и
) и наоборот. Поэтому согласно теореме 8 оператор
будет нормальным тогда и только тогда, когда в формуле (87)
и
(или в формуле (88)
и
) перестановочны между собой, если только характеристические числа оператора
(соответственно
) надлежащим образом нормированы.
В основе формулы (86) лежит тот факт, что функциональная зависимость
(92)
переводит
произвольных чисел на вещественной оси
в некоторые числа
, лежащие на окружности
, и наоборот.
Трансцендентную зависимость (92) можно заменить рациональной зависимостью
, (93)
которая переводит вещественную ось
в окружность
; при этом бесконечно удаленная точка на вещественной оси переходит в точку
. Из (93) находим:
. (94)
Повторяя рассуждения, которые привели нас к формуле (86), мы из (93) и (94) получим две взаимно обратные формулы:
(95)
Мы получили формулы Кэли. Эти формулы устанавливают взаимно однозначное соответствие между произвольными эрмитовыми операторами
и теми унитарными операторами
, у которых среди характеристических чисел нет
.
Формулы (86), (87), (88) и (95), конечно, будут верны и тогда, когда мы в них все операторы заменим соответствующими матрицами.
Пользуясь полярным разложением матрицы
ранга
:
(96)
и формулой (71)
, (97)
можно произвольную квадратную матрицу
ранга
представить в виде произведения
, (98)
где
и
– унитарные матрицы
, а
– диагональная матрица
, (98')
в которой диагональные элементы являются характеристическими числами правого модуля
(а следовательно, и левого модуля
) матрицы
.
Формулу (98) можно записать в виде
, (99)
где
и
–
-матрицы, образованные первыми
столбцами унитарных матриц
и
, а
– диагональная матрица
-го порядка:
. (100)
Пусть теперь
– произвольная прямоугольная
-матрица ранга
. Примем сначала, что
. Дополним матрицу
нулевыми строками до квадратной матрицы
, после чего применим формулу
. (101)
Представим
-матрицу
в виде

Тогда из равенства (101) найдем:
(102)
и
. (103)
Умножим обе части этого равенства справа на
. Тогда, поскольку
, получим:
, т.е.
. Но тогда столбцы матрицы
, как и столбцы матрицы
, унитарно-ортогональны между собой и нормированы.
Случай
сводится к случаю
, если применить сначала формулу к матрице
, а затем из полученного равенства определить матрицу
. Мы установили следующую теорему:
Теорема 9. Произвольная прямоугольная
-матрица ранга
всегда представима в виде произведения
, (104)
где
и
– унитарные по отношению к столбцам прямоугольные матрицы соответственно размеров
и
, а
– диагональная матрица
-го порядка с положительными диагональными элементами
.
Полагая
, мы приходим к установленному в главе I (стр. 32) разложению
, (105)
где матрицы
и
имеют соответствующие размеры
и
. Однако доказанная теорема дает уточнение этого разложения. Она утверждает, что множители
и
могут быть выбраны так, чтобы в матрице
все столбцы, а в матрице
все строки были унитарно-ортогональны между собой.