§ 13. Линейные операторы в евклидовом пространстве

Рассмотрим -мерное евклидово пространство . Пусть дан произвольный линейный оператор в .

Определение 10. Линейный оператор называется транспонированным оператором для оператора , если для любых векторов и из :

. (106)

Существование и единственность транспонированного оператора устанавливаются совершенно аналогично тому, как это делалось в § 8 для сопряженного оператора в унитарном пространстве.

Транспонированный оператор обладает следующими свойствами:

1. ,

2. ,

3. ( – вещественное число),

4. .

Введем ряд определений.

Определение 11. Линейный оператор называется нормальным, если

Определение 12. Линейный оператор называется симметрическим, если

Определение 13. Симметрический оператор называется неотрицательным, если для любого вектора из

Определение 14. Симметрический оператор называется положительно определенным, если для любого вектора из

Определение 15. Линейный оператор называется кососимметрическим, если

Произвольный линейный оператор всегда представим, и притом однозначно, в виде

, (107)

где – симметрический, а – кососимметрический оператор.

Действительно, из (107) следует

. (108)

Из (107) и (108) вытекает

. (109)

Обратно, формулы (109) всегда определяют симметрический оператор и кососимметрический , для которых имеет место равенство (107).

и носят название симметрической и кососимметрической компонент оператора .

Определение 16. Оператор называется ортогональным, если он сохраняет метрику пространства, т. е. если для любых векторов из

. (110)

Равенство (110) в силу (106) можно переписать так: . Отсюда следует:

. (111)

Обратно, из (111) вытекает (110) (при произвольных векторах ). Из (111) следует: , т. е.

Мы будем ортогональный оператор называть оператором первого рода, если , и второго рода, если .

Симметрический, кососимметрический, ортогональный операторы суть частные виды нормального оператора.

Рассмотрим произвольный ортонормированный базис в данном евклидовом пространстве. Пусть линейному оператору в этом базисе соответствует матрица (здесь все – вещественные числа). Читатель без труда покажет, что транспонированному оператору отвечает в этом же базисе транспонированная матрица , где . Отсюда вытекает, что в ортонормированном базисе нормальному оператору отвечает нормальная матрица , симметрическому оператору отвечает симметрическая матрица , кососимметрическому оператору – кососимметрическая матрица и, наконец, ортогональному оператору – ортогональная матрица .

Аналогично тому, как это делалось в § 8 для сопряженного оператора, здесь устанавливается следующее предложение:

Если некоторое подпространство в инвариантно относительно линейного оператора , то ортогональное дополнение к в инвариантно относительно оператора .

Для исследования линейных операторов в евклидовом пространстве мы расширим евклидово пространство до некоторого унитарного пространства . Это расширение проведем следующим образом:

1. Векторы из будем называть вещественными векторами.

2. Введем в рассмотрение «комплексные» векторы , где и – вещественные векторы, т. е. .

3. Естественным образом определяются операции сложения комплексных векторов и умножения на комплексное число. Тогда совокупность всех комплексных векторов образует -мерное векторное пространство над полем комплексных чисел, содержащее в себе как часть .

4. В вводится эрмитова метрика так, чтобы в она совпадала с имеющейся там евклидовой метрикой. Читатель легко проверит, что искомая эрмитова метрика задается следующим образом:

Если и , то

Полагая при этом и , будем иметь:

Если выбрать вещественный базис, т. е. базис в , то будет представлять собой совокупность всех векторов с комплексными, а – с вещественными координатами в этом базисе.

Всякий линейный оператор в однозначно расширяется до линейного оператора в :

Среди всех линейных операторов в операторы, получившиеся в результате такого расширения из операторов в , характеризуются тем, что переводят в . Такие операторы будем называть вещественными.

В вещественном базисе вещественные операторы определяются вещественными матрицами, т. е. матрицами с вещественными элементами.

Вещественный оператор переводит комплексно сопряженные векторы и снова в комплексно сопряженные

У вещественного оператора вековое уравнение имеет вещественные коэффициенты, поэтому умеете с корнем -й кратности оно имеет и корень -й кратности . Из следует: , т. е. сопряженным характеристическим числам соответствуют сопряженные собственные векторы.

Двумерное подпространство имеет вещественный базис: . Плоскость в с этим базисом будем называть инвариантной плоскостью оператора , отвечающей паре характеристических чисел . Пусть .

Тогда, как легко видеть,

Рассмотрим вещественный оператор простой структуры с характеристическими числами:

где – вещественные числа, причем .

Тогда соответствующие этим характеристическим числам собственные векторы можно выбирать так, чтобы

;. (112)

Векторы

(113)

образуют базис в евклидовом пространстве . При этом

(114)

В базисе (113) оператору соответствует вещественная квазидиагональная матрица

. (115)

Таким образом, для каждого оператора простой структуры в евклидовом пространстве существует такой базис, в котором оператору соответствует матрица вида (115). Отсюда следует, что всякая вещественная матрица простой структуры вещественно-подобна канонической матрице вида (115):

. (116)

Транспонированный оператор для в после расширения становится сопряженным оператором для в . Следовательно, нормальный, симметрический, кососимметрический, ортогональный операторы в после расширения становятся соответственно нормальным, эрмитовым, умноженным на эрмитовым, унитарным вещественным операторами в .

Нетрудно показать, что для нормального оператора в евклидовом пространстве можно выбрать канонический базис – ортонормированный базис (113), для которого имеют место равенства (114). Поэтому вещественная нормальная матрица всегда вещественно- и ортогонально-подобна матрице вида (115):

(117)

У симметрического оператора в евклидовом пространстве все характеристические числа вещественны, так как после расширения этот оператор становится эрмитовым. Для симметрического оператора в формулах (114) следует положить . Тогда получим:

. (118)

Симметрический оператор в евклидовом пространстве всегда имеет ортонормированную систему собственных векторов с вещественными характеристическими числами. Поэтому вещественная симметрическая матрица всегда вещественно- и ортогонально-подобна диагональной матрице

. (119)

У кососимметрического оператора в евклидовом пространстве все характеристические числа чисто мнимы (после расширения этот оператор равен произведению на эрмитов оператор). Для кососимметрического оператора в формулах (114) следует положить:

после чего эти формулы принимают вид

(120)

Поскольку является нормальным оператором, базис (113) можно считать ортонормированным. Таким образом, всякая вещественная кососимметрическая матрица вещественно- и ортогонально-подобна канонической кососимметрической матрице:

. (124)

У ортогонального оператора в евклидовом пространстве все характеристические числа по модулю равны единице (после расширения такой оператор становится унитарным). Поэтому в случае ортогонального оператора в формулах (114) следует положить:

При этом базис (113) можно считать ортонормированным. Формулы (114) можно представить в виде

(122)

Из сказанного следует, что всякая вещественная ортогональная матрица вещественно- и ортогонально-подобна канонической ортогональной:

(123)

Пример. Рассмотрим произвольное конечное вращение вокруг точки в трехмерном евклидовом пространстве. Оно переводит направленный отрезок в направленный отрезок и потому может быть рассматриваемо как оператор в трехмерном векторном пространстве (образованном всевозможными отрезками ). Этот оператор линейный и притом ортогональный. Определитель этого оператора равен единице, так как оператор не изменяет ориентации в пространстве.

Итак, – ортогональный оператор первого рода. Для него формулы (122) будут выглядеть так:

Из равенства следует, что . Это означает, что все точки прямой, проходящей через точку в направлении вектора , неподвижны. Таким образом, мы видим, что имеет место утверждение:

Произвольное конечное вращение твердого тело вокруг неподвижной точки может быть осуществлено конечным поворотом на угол вокруг некоторой неподвижной оси, проходящей черев эту точку.

Рассмотрим теперь произвольное конечное движение в трехмерном евклидовом пространстве, переводящее точку в точку

(*)

Движение складывается из поворота вокруг некоторой оси, проходящей через начало координат, и параллельного сдвига на вектор . Обозначим через собственные векторы , соответствующие характеристическим числам (при этом ):

Докажем существование такой точки , перемещение которой параллельно вектору (т. е. параллельно оси конечного поворота ). Для этого положим

и найдем, что

Поэтому, определив координаты и искомой точки из равенств

получим для перемещения точки требуемую формулу

Складывая почленно это равенство с вытекающим из (*) равенством

получим

. (**)

Эта формула показывает, что при рассматриваемом конечном движении радиус-вектор точки, проведенный из , поворачивается вокруг некоторой оси на фиксированный угол; затем к нему прибавляется параллельный оси вектор . Другими словами, движение представляет собой винтовой сдвиг вокруг оси, проходящей через точку параллельно вектору . Нами доказана теорема Эйлер – Даламбера:

Произвольное конечное движение в трехмерном евклидовом пространстве представляет собой винтовое перемещение вокруг некоторой неподвижной оси.