§ 14. Полярное разложение оператора и формулы Кэли в евклидовом пространстве

1. В § 12 было установлено полярное разложение линейного оператора в унитарном пространстве. Совершенно аналогично получается полярное разложение линейного оператора в евклидовом пространстве.

Теорема 9. Линейный оператор всегда представим в виде произведений

, (124)

, (125)

где и – неотрицательные симметрические, а и – ортогональные операторы; при этом , где – вещественные многочлены.

В том и только в том случае, когда – нормальный оператор, множители и (множители и ) между собой перестановочны.

Аналогичное предложение имеет место для матриц.

Отметим геометрическое содержание формул (124) и (125). Будем откладывать векторы -мерного точечного евклидова пространства из начала координат. Тогда каждый вектор будет радиус-вектором некоторой точки пространства. Ортогональное преобразование, осуществляемое оператором (или ), является вращением в этом пространстве, поскольку оно сохраняет евклидову метрику и оставляет на месте начало координат. Симметрический же оператор (или ) осуществляет «дилатацию» -мерного пространства (т. е. «растяжение» вдоль взаимно перпендикулярных направлений с различными в общем случае коэффициентами растяжения ( – произвольные неотрицательные числа). Согласно формулам (124) и (125) произвольное линейное однородное преобразование -мерного евклидова пространства можно получить, осуществляя последовательно некоторое вращение и некоторую дилатацию (в любом порядке).

2. Подобно тому как это было сделано в предыдущем параграфе для унитарного оператора, рассмотрим теперь некоторые представления для ортогонального оператора в евклидовом пространстве .

Пусть – произвольный кососимметрический оператор и

. (126)

Тогда – ортогональный оператор первого рода. Действительно,

Покажем, что любой ортогональный оператор первого рода представим в виде (126). Для этого возьмем соответствующую ортогональную матрицу . Поскольку , то согласно формуле (123)

(127)

Определим кососимметрическую матрицу равенством

. (128)

Поскольку

то из (127) и (128) следует:

. (129)

Матричное равенство (129) влечет операторное равенство (126).

Для представления ортогонального оператора второго рода введем в рассмотрение специальный оператор , определив его в некотором ортонормированном базисе равенствами

. (130)

– ортогональный оператор второго рода. Если – произвольный ортогональный оператор второго рода, то и суть операторы первого рода и потому представимы в виде и , где и – кососимметрические операторы. Отсюда получим формулы для ортогонального оператора второго рода

. (131)

Базис в формулах (130) можно выбрать так, чтобы он совпадал с базисом в формулах (120) и (122). Определенный таким образом оператор будет перестановочен с ; поэтому две формулы (131) сольются в одну

. (132)

Остановимся еще на формулах Кэли, устанавливающих связь между ортогональными и кососимметрическими операторами в евклидовом пространстве. Формула

, (133)

как легко проверить, переводит кососимметрический оператор в ортогональный . Из (133) можно выразить через :

. (134)

Формулы (133) и (134) устанавливают взаимно однозначное соответствие между кососимметрическими операторами и теми ортогональными операторами, которые не имеют характеристического числа . Вместо (133) и (134) можно взять формулы

, (135)

. (136)

В этом случае роль особой точки будет играть число .

3. Полярное разложение вещественной матрицы в соответствии с теоремой 9 позволяет получить основные формулы (117), (119), (121), (123), не прибегая к включению евклидова пространства в унитарное так, как это было сделано ранее. Второй вывод основных формул опирается на следующую теорему:

Теорема 10. Если две вещественные нормальные матрицы подобны:

, (137)

то эти матрицы вещественно- и ортогонально-подобны:

. (138)

Доказательство. Поскольку нормальные матрицы и имеют одни и те же характеристические числа, то (см. 2. на стр. 246) существует такой многочлен , что

Поэтому вытекающее из (137) равенство

может быть записано так:

. (139)

Переходя в этом равенстве к транспонированным матрицам, получим:

. (140)

Сопоставление (137) с (140) дает:

. (141)

Воспользуемся теперь полярным разложением матрицы :

, (142)

где [ – многочлен] – симметрическая, а – вещественная ортогональная матрица. Поскольку согласно (141) матрица перестановочна с то она же перестановочна с матрицей . Поэтому подставляя в (137) выражение для из (142), будем иметь:

Теорема доказана.

Рассмотрим вещественную каноническую матрицу

. (143)

Матрица (143) нормальна и имеет характеристические числа . Так как нормальные матрицы имеют простую структуру, то любая нормальная матрица, имеющая те же характеристические числа, подобна (а в силу теоремы 10 вещественно- и ортогонально-подобна) матрице (143). Таким образом, приходим к формуле (117).

Совершенно так же получаются формулы (119), (121), (123).