§ 15. Коммутирующие нормальные операторы

В § 10 мы доказали, что два коммутирующих оператора  и  в -мерном пространстве  всегда имеют общий собственный вектор. Методом индукции можно показать, что это положение справедливо не только для двух, но для любого конечного числа коммутирующих операторов. Действительно, если даны  попарно коммутирующих операторов , среди которых первые  имеют общий собственный вектор , то, повторяя дословно рассуждения леммы 1 (стр. 245) [в качестве  берем любое  , а в качестве  – оператор ], мы получаем вектор , который является общим собственным вектором операторов .

Доказанное положение справедливо и для бесконечного множества коммутирующих операторов, поскольку такое множество может содержать только конечное число  линейно независимых операторов, а общий собственный вектор последних будет общим собственным вектором всех операторов из данного множества.

Пусть теперь дано произвольное конечное или бесконечное множество попарно коммутирующих нормальных операторов . Все они имеют общий собственный вектор . Обозначим -мерное подпространство, состоящее из всех векторов из , ортогональных к , через . Согласно § 10, 3. (стр. 247) подпространство  инвариантно относительно операторов . Поэтому все эти операторы имеют общий собственный вектор  в . Рассматривая ортогональное дополнение  к плоскости , выделим в нем вектор  и т. д. Таким образом, мы получим ортогональную систему  общих собственных векторов для операторов . Эти векторы можно пронормировать. Нами доказана

Теорема 11. Если дано конечное или бесконечное множество попарно коммутирующих нормальных операторов  в унитарном пространстве , то все эти операторы имеют полную ортонормированную систему общих собственных векторов :

.                       (144)

В матричной формулировке эта теорема гласит:

Теорема 11'. Если дано конечное или бесконечное множество попарно коммутирующих нормальных матриц, то все эти матрицы одним и тем же унитарным преобразованием могут быть приведены к диагональному виду, т. е. существует такая унитарная матрица , что

                      (145)

Пусть теперь даны коммутирующие нормальные операторы в евклидовом пространстве . Обозначим через  линейно независимые среди них (их конечное число). Включим (с сохранением метрики)  в унитарное пространство , как это было сделано в § 13. Тогда согласно теореме 11 операторы  будут иметь в  полную общую ортонормированную систему собственных векторов ,  т. е. будут выполняться равенства (144).

Рассмотрим произвольную линейную комбинацию операторов :

При любых вещественных значениях  оператор  является вещественным  нормальным оператором в  и

               (146)

Характеристические числа   оператора  являются линейными формами относительно  В силу вещественности оператора  эти формы можно разбить на попарно комплексно сопряженные и вещественные; при надлежащей нумерации собственных векторов будем иметь:

                       (147)

где  – вещественные линейные формы от  

В соответствии с этим мы можем в (146) считать векторы  и  комплексно сопряженными, а  – вещественными:

                      (148)

Тогда, как легко видеть, вещественные векторы

                       (149)

образуют ортонормированный базис в . В этом каноническом базисе имеем:

                 (150)

Поскольку все операторы данного множества получаются из  при частных значениях , то базис (149), не зависящий от этих параметров, является общим каноническим базисом для всех данных операторов.

Нами доказана

Теорема 12. Если дано любое множество коммутирующих нормальных линейных операторов в евклидовом пространстве , то все эти операторы имеют общий ортонормированный канонический базис .

                   (151)

Приведем матричную формулировку теоремы 12:

Теорема 12'. Любое множество коммутирующих вещественных нормальных матриц  при помощи одного и того же вещественного ортогонального преобразования  может быть приведено к каноническому виду

                       (152)

Примечание. Если какой-либо из операторов  (какая-либо из матриц ), например , является симметрическим (симметрической), то в соответствующих формулах (151) [соответственно (в 152)] все  равны нулю. В случае косой симметрии все  равны нулю. В случае, если  – ортогональный оператор ( – ортогональная матрица), то , ,  .