§ 16. Псевдообратный операторПусть дан произвольный линейный оператор , отображающий -мерное унитарное пространство в -мерное унитарное пространство (см. гл. III, § 2). Обозначим через ранг оператора , т. е. число измерений подпространства . Рассмотрим два ортогональных расщепления пространств и : (153) . (154) Здесь подпространство состоит из всех векторов , удовлетворяющих уравнению . Поэтому число измерений подпространства равно (см. стр. 78). Следовательно, число измерений ортогонального дополнения равно . С другой стороны, и . Поскольку подпространства и имеют одно и то же число измерений , то линейный оператор устанавливает взаимно однозначное соответствие между векторами подпространств и . Поэтому однозначно определяется обратный оператор , отображающий в . Псевдообратным оператором для оператора назовем линейный оператор, отображающий в и определяемый равенствами (155) Псевдообратный оператор однозначно определяется заданием линейного оператора , отображающего пространство в и заданием метрики в пространствах и . При изменении метрики в пространствах и изменяется и псевдообратный оператор . Роль псевдообратного оператора выясняется из следующей геометрической интерпретации. Уравнение (156) при заданном либо не имеет решений в (если не принадлежит подпространству ), либо имеет решения (если ). В последнем случае все решения уравнения (156) получаются из одного решения прибавлением произвольного вектора . Докажем, что вектор (157) представляет собой наилучшее приближенное решение уравнения (156), т. е. (158) и из всех векторов , для которых этот минимум реализуется, вектор имеет наименьшую длину . Действительно, пусть и . Тогда представляет собой ортогональную проекцию вектора на подпространство , состоящее из всех векторов вида , где . Поэтому имеет место равенство (158). С другой стороны, пусть – какой-либо другой вектор , для которого реализуется минимум (158). Тогда (159) и, следовательно, , (160) т. е. . Поэтому, поскольку , то по теореме Пифагора из равенства находим: . (161) Таким образом, существует только одно наилучше приближенное решение уравнения (156) и это решение определяется формулой (157). Выберем в пространствах и ортонормированные базисы. В этих базисах квадрат длины векторов и определяется формулами (162) и векторные равенства переходят в матричные . (163) Поскольку при любом представляет собой наилучшее приближенное решение в смысле метрики (162) системы линейных уравнений, то – псевдообратная матрица для прямоугольной матрицы (см. гл. I, § 4). Таким образом, если в пространствах и выбраны ортонормированные базисы, то операторам и в этих базисах соответствуют взаимно псевдообратные матрицы и .
|