§ 16. Псевдообратный оператор
Пусть дан произвольный линейный оператор
, отображающий
-мерное унитарное пространство
в
-мерное унитарное пространство
(см. гл. III, § 2). Обозначим через
ранг оператора
, т. е. число измерений подпространства
. Рассмотрим два ортогональных расщепления пространств
и
:
(153)
. (154)
Здесь подпространство
состоит из всех векторов
, удовлетворяющих уравнению
. Поэтому число измерений подпространства
равно
(см. стр. 78). Следовательно, число измерений ортогонального дополнения
равно
.
С другой стороны,
и
. Поскольку подпространства
и
имеют одно и то же число измерений
, то линейный оператор
устанавливает взаимно однозначное соответствие между векторами подпространств
и
. Поэтому однозначно определяется обратный оператор
, отображающий
в
.
Псевдообратным оператором
для оператора
назовем линейный оператор, отображающий
в
и определяемый равенствами
(155)
Псевдообратный оператор
однозначно определяется заданием линейного оператора
, отображающего пространство
в
и заданием метрики в пространствах
и
. При изменении метрики в пространствах
и
изменяется и псевдообратный оператор
.
Роль псевдообратного оператора выясняется из следующей геометрической интерпретации.
Уравнение
(156)
при заданном
либо не имеет решений в
(если
не принадлежит подпространству
), либо имеет решения (если
). В последнем случае все решения уравнения (156) получаются из одного решения
прибавлением произвольного вектора
.
Докажем, что вектор
(157)
представляет собой наилучшее приближенное решение уравнения (156), т. е.
(158)
и из всех векторов
, для которых этот минимум реализуется, вектор
имеет наименьшую длину
.
Действительно, пусть
и
. Тогда
представляет собой ортогональную проекцию вектора
на подпространство
, состоящее из всех векторов вида
, где
. Поэтому имеет место равенство (158). С другой стороны, пусть
– какой-либо другой вектор
, для которого реализуется минимум (158). Тогда
(159)
и, следовательно,
, (160)
т. е.
. Поэтому, поскольку
, то по теореме Пифагора из равенства
находим:
. (161)
Таким образом, существует только одно наилучше приближенное решение уравнения (156) и это решение определяется формулой (157).
Выберем в пространствах
и
ортонормированные базисы. В этих базисах квадрат длины векторов
и
определяется формулами
(162)
и векторные равенства

переходят в матричные
. (163)
Поскольку
при любом
представляет собой наилучшее приближенное решение в смысле метрики (162) системы линейных уравнений, то
– псевдообратная матрица для прямоугольной матрицы
(см. гл. I, § 4). Таким образом, если в пространствах
и
выбраны ортонормированные базисы, то операторам
и
в этих базисах соответствуют взаимно псевдообратные матрицы
и
.