ГЛАВА X. КВАДРАТИЧНЫЕ И ЭРМИТОВЫ ФОРМЫ

§ 1. Преобразование переменных в квадратичной форме

1. Квадратичной формой называется однородный многочлен второй степени относительно  переменных . Квадратичную форму всегда можно представить в виде

,

где  – симметрическая матрица.

Обозначая через  столбцевую матрицу  и пользуясь сокращенным обозначением для квадратичной формы

,                        (1)

мы можем написать:

.                      (2)

Если  – вещественная симметрическая матрица, то форма (1) называется вещественной. В этой главе мы будем в основном рассматривать вещественные квадратичные формы.

Определитель  называется дискриминантом квадратичной формы . Форма называется сингулярной, если ее дискриминант равен нулю.

Каждой квадратичной форме соответствует билинейная форма

                        (3)

или

.                  (4)

Если  – столбцевые матрицы, а  – скаляры, то в силу билинейности выражения  [см. (4)]

.             (5)

Если задан некоторый симметрический оператор  в -мерном евклидовом пространстве и этому оператору в некотором ортонормированном базисе  соответствует матрица , то для любых векторов

имеет место тождество

.

В частности,

.

При этом

.

2. Посмотрим, как изменяется матрица коэффициентов формы при преобразовании переменных:

.                       (6)

В матричной записи это преобразование выглядит так:

.                      (6')

Здесь  и  – столбцевые матрицы:  и , а  – преобразующая матрица: .

Подставляя в (2) выражение для , из (6') получим:

,

где

.                  (7)

Формула (7) выражает матрицу  коэффициентов преобразованной формы  через матрицу коэффициентов первоначальной формы  и матрицу преобразования .

Из формулы (7) следует, что при преобразовании формы ее дискриминант умножается на квадрат определителя преобразования:

.               (8)

В дальнейшем мы будем пользоваться исключительно неособенными преобразованиями переменных . При таких преобразованиях, как видно из формулы (7), ранг матрицы коэффициентов остается неизменным (ранг матрицы  равен рангу матрицы ). Ранг матрицы коэффициентов обычно называют рангом формы.

Определение 1. Две симметрические матрицы  и , связанные равенством (7), в котором , называются конгруэнтными.

Таким образом, с каждой квадратичной формой связан целый класс попарно конгруэнтных симметрических матриц. Как было уже отмечено выше, все эти матрицы имеют один и тот же ранг – ранг формы. Ранг является инвариантом для данного класса матриц. В случае вещественной квадратичной формы вторым инвариантом является так называемая сигнатура квадратичной формы. К введению этого понятия мы и переходим.