§ 2. Приведение квадратичной формы к сумме квадратов. Закон инерции

Вещественную квадратичную форму  можно бесчисленным множеством способов представить в виде

,                (9)

где   и

– независимые вещественные линейные формы от переменных  (отсюда ).

Рассмотрим неособенное преобразование переменных, при котором первые  из новых переменных  связаны с  формулами

.

Тогда в новых переменных

и, следовательно, матрица  имеет диагональный вид:

.

Но ранг матрицы  равен . Следовательно, число квадратов в представлении (9) всегда равно рангу формы.

Мы покажем, что неизменным при различных представлениях формы  в виде (9) является не только число всех квадратов, но и число положительных (а значит, и число всех отрицательных) квадратов.

Теорема 1 (закон инерции квадратичных форм). При представлении вещественной квадратичной формы  в виде, суммы независимых квадратов

число положительных квадратов и число отрицательных квадратов не зависят от способа представления формы в указанном виде.

Доказательство. Пусть наряду с представлением (9) имеет место другое представление формы  в виде суммы независимых квадратов

,

и пусть

Допустим, что , например . Тогда в тождестве

                 (10)

дадим переменным  значения, удовлетворяющие системе  уравнений

             (11)

и не обращающие в нуль хотя бы одну из форм . При этих значениях переменных левая часть тождества (10) равна

,

а правая равна

.

Таким образом, допущение  привело нас к противоречию. Теорема доказана.

Определение 2. Разность  между числом  положительных и числом  отрицательных квадратов в представлении формы  называют сигнатурой формы .

Ранг  и сигнатура  определяют однозначно числа  и , так как

.

Заметим еще, что в формуле (9) положительный множитель  можно отнести к форме  . Тогда формула (9) принимает вид

.                     (12)

Полагая  , мы форму  приводим к каноническому виду

.               (13)

Отсюда на основании теоремы 1 заключаем, что всякая вещественная симметрическая матрица  конгруэнтна диагональной матрице, у которой диагональные элементы равны  или 0:

.            (14)

В следующем параграфе будет дано правило для определения сигнатуры по коэффициентам квадратичной формы.