§ 3. Метод Лагранжа приведения квадратичной формы к сумме квадратов. Формула Якоби
Из предыдущего параграфа вытекает, что для определения ранга и сигнатуры формы достаточно каким-либо способом привести эту форму к сумме независимых квадратов.
Мы изложим здесь метод приведения Лагранжа.
1. Метод Лагранжа. Пусть дана квадратичная форма
.
Рассмотрим два случая:
1) При некотором
диагональный коэффициент
. Тогда, полагая
, (15)
непосредственной проверкой убеждаемся в том, что квадратичная форма
уже не содержит переменной
. Этот способ выделения квадрата из квадратичной формы применим всегда, когда в матрице
имеются диагональные элементы, отличные от нуля.
2) Коэффициенты
, но
. В этом случае полагаем:
. (16)
Формы
(17)
линейно независимы, так как первая содержит
, но не содержит
, а вторая, наоборот, содержит
, но не содержит
. Поэтому и формы, стоящие под знаком квадрата в (16), линейно независимы [как сумма и разность независимых линейных форм (17)].
Таким образом, мы выделили в
два независимых квадрата. Каждый из этих квадратов содержит
и
, в то время как форма
, как легко проверить, этих переменных не содержит.
Последовательным комбинированием приемов 1) и 2) можно всегда с помощью рациональных операций привести форму
к сумме квадратов. При этом полученные квадраты будут независимы, так как на каждом этапе выделяемые квадраты содержат переменные, которые отсутствуют в последующих квадратах.
Заметим еще, что основные формулы (15) и (16) могут быть записаны так:
, (15')
. (16')
Пример.
.
Применяем формулу (15')
:
,
где
.
Применяем формулу (16')
:

где
.
Окончательно

2. Формула Якоби. Обозначим через
ранг квадратичной формы
и допустим, что
. (18)
Поскольку
, то, выделяя по методу Лагранжа из формы
один квадрат, получим:
, (19)
где квадратичная форма
(20)
не содержит переменной
. Из тождества (19) следует, что коэффициенты формы
определяются формулами
. (21)
Но тогда эти коэффициенты совпадают с соответствующими элементами матрицы
,
которая получается из симметрической матрицы
после применения к ней первого этапа алгоритма исключения Гаусса (см. гл. II, § 1).
Таким образом, процесс выделения одного квадрата по методу Лагранжа, по существу, совпадает с первым этапом алгоритма Гаусса. Элементы первой строки матрицы
являются коэффициентами в выделяемом квадрате; величина, обратная элементу
, является множителем при квадрате. Остальные элементы матрицы
определяют коэффициенты формы
. Для выделения второго квадрата следует выполнить второй этап алгоритма Гаусса и т. д. Применяя к симметрической матрице
полный алгоритм Гаусса, состоящий из
этапов, получим матрицу

и соответственно представление квадратичной формы
в виде суммы квадратов
(22)
Введем сокращенные обозначения для независимых линейных форм
. (23)
Замечая, что
(24)
можно тождество (22) записать в виде
(25)
Эта формула, дающая представление квадратичной формы
в виде суммы независимых квадратов, носит название формулы Якоби.
Для коэффициентов, фигурирующих в формуле Якоби линейных форм
, имеют место равенства
. (26)
Если через
обозначить произвольную верхнюю треугольную матрицу, у которой первые
строк совпадают с соответствующими строками матрицы
, то на основе формулы Якоби можно утверждать, что преобразование переменных
переводит квадратичную форму
с диагональной матрицей коэффициентов
в квадратичную форму
. Но тогда [см. (7)] справедливо равенство
.
Эта формула устанавливает разложение симметрической матрицы
на треугольные множители и совпадает с формулой (55) на стр. 55.
Формулу Якоби часто представляют в другом виде.
Вместо
вводят линейно независимые формы
. (27)
Тогда формула Якоби (25) запишется так:
. (28)
Здесь
, (29)
где
. (30)
Пример.
.
Приводим матрицу

к гауссовой форме
.
Отсюда
.
Формула (22) дает:
.
Из формулы Якоби (28) вытекает
Теорема 2 (Якоби). Если для квадратичной формы

ранга
имеют место неравенства
, (31)
то число положительных квадратов
и число отрицательных квадратов
формы
совпадают соответственно с числом знакопостоянств
и с числом знакоперемен
в ряду чисел
, (32)
т.е.
и сигнатура
. (33)
Замечание 1. В случае, когда в ряду чисел
имеются нули, но нет трех подряд идущих нулей, для определения сигнатуры можно пользоваться формулой
,
опуская нулевое
, если
, и полагая в случае 
(34)
Мы приводим здесь это правило без обоснования.
Замечание 2. При наличии трех подряд идущих нулей в ряду
сигнатура квадратичной формы не может быть непосредственно определена при помощи теоремы Якоби. В этом случае знаки ненулевых
не определяют сигнатуру формы. Следующий пример убеждает нас в этом:
.
Здесь
.
В то же время

В обоих случаях
.
Замечание 3. Если
, a
, то знаки
не определяют сигнатуру формы. В качестве подтверждающего примера можно привести форму
.
Однако в последнем случае перенумерацией переменных можно достичь того, чтобы имело место и неравенство
. Действительно, пусть
-я строка
линейно независима по отношению к первым
строкам. Поменяем между собой номера переменных
и
. После этого в новой матрице коэффициентов
первые
строк, а значит (в силу симметричности матрицы) и первые
столбцов, линейно независимы. Тогда в произвольном миноре
-го порядка
каждую строку представим в виде линейной комбинаций первых
строк, а затем каждый столбец – в виде линейной комбинации первых
столбцов. В соответствии с этим, расщепляя минор
на сумму определителей
-го порядка, мы в конце концов получим, что минор
равен произведению главного минора
на некоторый числовой множитель:
. Но среди миноров
имеются отличные от нуля миноры, так как
– ранг матрицы
. Поэтому
.