§ 3. Метод Лагранжа приведения квадратичной формы к сумме квадратов. Формула Якоби

Из предыдущего параграфа вытекает, что для определения ранга и сигнатуры формы достаточно каким-либо способом привести эту форму к сумме независимых квадратов.

Мы изложим здесь метод приведения Лагранжа.

1. Метод Лагранжа. Пусть дана квадратичная форма

.

Рассмотрим два случая:

1) При некотором  диагональный коэффициент . Тогда, полагая

,                      (15)

непосредственной проверкой убеждаемся в том, что квадратичная форма  уже не содержит переменной . Этот способ выделения квадрата из квадратичной формы применим всегда, когда в матрице  имеются диагональные элементы, отличные от нуля.

2) Коэффициенты , но . В этом случае полагаем:

.                      (16)

Формы

                    (17)

линейно независимы, так как первая содержит , но не содержит , а вторая, наоборот, содержит , но не содержит . Поэтому и формы, стоящие под знаком квадрата в (16), линейно независимы [как сумма и разность независимых линейных форм (17)].

Таким образом, мы выделили в  два независимых квадрата. Каждый из этих квадратов содержит  и , в то время как форма , как легко проверить, этих переменных не содержит.

Последовательным комбинированием приемов 1) и 2) можно всегда с помощью рациональных операций привести форму  к сумме квадратов. При этом полученные квадраты будут независимы, так как на каждом этапе выделяемые квадраты содержат переменные, которые отсутствуют в последующих квадратах.

Заметим еще, что основные формулы (15) и (16) могут быть записаны так:

,                (15')

.                        (16')

Пример.

.

Применяем формулу (15') :

,

где

.

Применяем формулу (16') :

где

.

Окончательно

2. Формула Якоби. Обозначим через  ранг квадратичной формы  и допустим, что

.                      (18)

Поскольку , то, выделяя по методу Лагранжа из формы  один квадрат, получим:

,                       (19)

где квадратичная форма

               (20)

не содержит переменной . Из тождества (19) следует, что коэффициенты формы  определяются формулами

.                      (21)

Но тогда эти коэффициенты совпадают с соответствующими элементами матрицы

,

которая получается из симметрической матрицы  после применения к ней первого этапа алгоритма исключения Гаусса (см. гл. II, § 1).

Таким образом, процесс выделения одного квадрата по методу Лагранжа, по существу, совпадает с первым этапом алгоритма Гаусса. Элементы первой строки матрицы  являются коэффициентами в выделяемом квадрате; величина, обратная элементу , является множителем при квадрате. Остальные элементы матрицы  определяют коэффициенты формы . Для выделения второго квадрата следует выполнить второй этап алгоритма Гаусса и т. д. Применяя к симметрической матрице  полный алгоритм Гаусса, состоящий из  этапов, получим матрицу

и соответственно представление квадратичной формы  в виде суммы квадратов

                (22)

Введем сокращенные обозначения для независимых линейных форм

.                     (23)

Замечая, что

                       (24)

можно тождество (22) записать в виде

                    (25)

Эта формула, дающая представление квадратичной формы  в виде суммы независимых квадратов, носит название формулы Якоби.

Для коэффициентов, фигурирующих в формуле Якоби линейных форм , имеют место равенства

.              (26)

Если через  обозначить произвольную верхнюю треугольную матрицу, у которой первые  строк совпадают с соответствующими строками матрицы , то на основе формулы Якоби можно утверждать, что преобразование переменных   переводит квадратичную форму  с диагональной матрицей коэффициентов  в квадратичную форму . Но тогда [см. (7)] справедливо равенство

.

Эта формула устанавливает разложение симметрической матрицы  на треугольные множители и совпадает с формулой (55) на стр. 55.

Формулу Якоби часто представляют в другом виде.

Вместо   вводят линейно независимые формы

.                       (27)

Тогда формула Якоби (25) запишется так:

.                        (28)

Здесь

,                      (29)

где

.                    (30)

Пример.

.

Приводим матрицу

к гауссовой форме

.

Отсюда .

Формула (22) дает:

.

Из формулы Якоби (28) вытекает

Теорема 2 (Якоби). Если для квадратичной формы

ранга  имеют место неравенства

,                      (31)

то число положительных квадратов  и число отрицательных квадратов  формы  совпадают соответственно с числом знакопостоянств  и с числом знакоперемен  в ряду чисел

,                      (32)

т.е.  и сигнатура

.             (33)

Замечание 1. В случае, когда в ряду чисел  имеются нули, но нет трех подряд идущих нулей, для определения сигнатуры можно пользоваться формулой

,

опуская нулевое , если , и полагая в случае

                      (34)

Мы приводим здесь это правило без обоснования.

Замечание 2. При наличии трех подряд идущих нулей в ряду  сигнатура квадратичной формы не может быть непосредственно определена при помощи теоремы Якоби. В этом случае знаки ненулевых  не определяют сигнатуру формы. Следующий пример убеждает нас в этом:

.

Здесь

.

В то же время

В обоих случаях .

Замечание 3. Если , a , то знаки  не определяют сигнатуру формы. В качестве подтверждающего примера можно привести форму

.

Однако в последнем случае перенумерацией переменных можно достичь того, чтобы имело место и неравенство . Действительно, пусть -я строка  линейно независима по отношению к первым  строкам. Поменяем между собой номера переменных  и . После этого в новой матрице коэффициентов  первые  строк, а значит (в силу симметричности матрицы) и первые  столбцов, линейно независимы. Тогда в произвольном миноре -го порядка  каждую строку представим в виде линейной комбинаций первых  строк, а затем каждый столбец – в виде линейной комбинации первых  столбцов. В соответствии с этим, расщепляя минор  на сумму определителей -го порядка, мы в конце концов получим, что минор  равен произведению главного минора  на некоторый числовой множитель: . Но среди миноров  имеются отличные от нуля миноры, так как  – ранг матрицы . Поэтому .