§ 4. Положительные квадратичные формы

В этом параграфе мы остановимся на специальном, но важном классе положительных квадратичных форм.

Определение 3. Вещественная квадратичная форма  называется неотрицательной (неположительной), если при любых вещественных значениях переменных

.            (35)

В этом случае симметрическая матрица коэффициентов  называется положительно полуопределенной (отрицательно полуопределенной).

Определение 4. Вещественная квадратичная форма  называется положительно определенной (отрицательно определенной), если при любых не равных одновременно нулю вещественных значениях переменных

.            (36)

В этом случае матрица  также называется положительно определенной (отрицательно определенной).

Класс положительно определенных (отрицательно определенных) форм является частью класса неотрицательных (соответственно неположительных) форм.

Пусть дана неотрицательная форма . Представим ее в виде суммы независимых квадратов:

.                (37)

В этом представлении все квадраты должны быть положительными:

.                        (38)

Действительно, если бы какое-либо  было , то можно было бы подобрать такие значения , при которых

.

Но тогда при этих значениях переменных форма  имела бы отрицательное значение, что по условию невозможно. Очевидно, что и обратно, из (37) и (38) следует положительность формы .

Таким образом, неотрицательная квадратичная форма характеризуется равенствами  .

Пусть теперь  – положительно определенная форма. Тогда  и неотрицательная форма. Поэтому она представима в виде (37), где все   положительны. Из положительной определенности формы следует, что . Действительно, в случае  можно подобрать такие не равные одновременно нулю значения , при которых все  обращались бы в нуль. Но тогда в силу (37)  при , что противоречит условию (36).

Легко видеть, что и обратно, если в (37)  и все  положительны, то  – положительно определенная форма.

Другими словами, неотрицательная форма тогда и только тогда является положительно определенной, когда она не сингулярна.

Следующая теорема дает критерий положительной определенности формы в виде неравенств, которым должны удовлетворять коэффициенты формы. При этом используются уже встречавшиеся в предыдущих параграфах обозначения для последовательных главных миноров матрицы :

.

Теорема 3. Для того чтобы квадратичная форма была положительно определенной, необходимо и достаточно, чтобы выполнялись неравенства

.                  (39)

Доказательство. Достаточность условий (39) следует непосредственно из формулы Якоби (28). Необходимость условий (39) устанавливается следующим образом. Из положительной определенности формы  следует положительная определенность «урезанных» форм

.

Но тогда все эти формы должны быть несингулярны, т. е.

.

Теперь мы имеем возможность воспользоваться формулой Якоби (28) (при ). Поскольку в правой части этой формулы все квадраты должны быть положительными, то

.

Отсюда следуют неравенства (39). Теорема доказана.

Поскольку любой главный минор матрицы  при надлежащей перенумерации переменных можно поместить в левый верхний угол, то имеет место

Следствие. В положительно определенной квадратичной форме  все главные миноры матрицы коэффициентов положительны:

.                      (40)

Замечание. Из неотрицательности последовательных главных миноров

не следует неотрицательность формы . Действительно, форма

,

в которой , удовлетворяет условиям , но не является неотрицательной.

Однако имеет место следующая

Теорема 4. Для того чтобы квадратичная форма  была неотрицательной, необходимо и достаточно, чтобы все главные миноры ее матрицы коэффициентов были неотрицательны:

.

Доказательство. Введем вспомогательную форму

.

Очевидно, .

Из неотрицательности формы  следует положительная определенность формы  и, следовательно, неравенства (см. следствие из теоремы 3)

.

Переходя к пределу при , получаем условия (40).

Пусть, наоборот, даны условия (40). Из этих условий следует:

.

Но тогда (согласно теореме 3)  – положительно определенная форма

.

Переходя к пределу при , получаем отсюда:

.

Теорема доказана.

Условия неположительности и отрицательной определенности формы получаются соответственно из неравенств (39) и (40), если эти неравенства применить к форме .

Теорема 5. Для того чтобы квадратичная форма  была отрицательно определенной, необходимо и достаточно, чтобы имели место неравенства

.                    (39')

Теорема 6. Для того чтобы квадратичная форма  была неположительной, необходимо и достаточно, чтобы имели место неравенства

.                      (40')