§ 4. Положительные квадратичные формыВ этом параграфе мы остановимся на специальном, но важном классе положительных квадратичных форм. Определение 3. Вещественная квадратичная форма
В этом случае симметрическая матрица коэффициентов Определение 4. Вещественная квадратичная форма
В этом случае матрица Класс положительно определенных (отрицательно определенных) форм является частью класса неотрицательных (соответственно неположительных) форм. Пусть дана неотрицательная форма
В этом представлении все квадраты должны быть положительными:
Действительно, если бы какое-либо
Но тогда при этих значениях переменных форма Таким образом, неотрицательная квадратичная форма характеризуется равенствами Пусть теперь Легко видеть, что и обратно, если в (37) Другими словами, неотрицательная форма тогда и только тогда является положительно определенной, когда она не сингулярна. Следующая теорема дает критерий положительной определенности формы в виде неравенств, которым должны удовлетворять коэффициенты формы. При этом используются уже встречавшиеся в предыдущих параграфах обозначения для последовательных главных миноров матрицы
Теорема 3. Для того чтобы квадратичная форма была положительно определенной, необходимо и достаточно, чтобы выполнялись неравенства
Доказательство. Достаточность условий (39) следует непосредственно из формулы Якоби (28). Необходимость условий (39) устанавливается следующим образом. Из положительной определенности формы
Но тогда все эти формы должны быть несингулярны, т. е.
Теперь мы имеем возможность воспользоваться формулой Якоби (28) (при
Отсюда следуют неравенства (39). Теорема доказана. Поскольку любой главный минор матрицы Следствие. В положительно определенной квадратичной форме
Замечание. Из неотрицательности последовательных главных миноров не следует неотрицательность формы
в которой Однако имеет место следующая Теорема 4. Для того чтобы квадратичная форма
Доказательство. Введем вспомогательную форму
Очевидно, Из неотрицательности формы
Переходя к пределу при Пусть, наоборот, даны условия (40). Из этих условий следует:
Но тогда (согласно теореме 3)
Переходя к пределу при
Теорема доказана. Условия неположительности и отрицательной определенности формы получаются соответственно из неравенств (39) и (40), если эти неравенства применить к форме Теорема 5. Для того чтобы квадратичная форма
Теорема 6. Для того чтобы квадратичная форма
|