§ 5. Приведение квадратичной формы к главным осям

Рассмотрим произвольную вещественную квадратичную форму

.

Ее матрица коэффициентов  является вещественной симметрической. Поэтому (см. гл. IX, § 13) она ортогонально-подобна некоторой вещественной диагональной матрице , т. е. существует такая вещественная ортогональная матрица , что

.                   (41)

Здесь  – характеристические числа матрицы .

Поскольку для ортогональной матрицы , то из (41) следует, что форма  при ортогональном преобразовании переменных

                 (42)

или в более подробной записи

                   (42')

переходит в форму

.                (43)

Теорема 7. Вещественная квадратичная форма  всегда может быть приведена при помощи ортогонального преобразования к канонической форме (43); при этом  – характеристические числа матрицы .

Приведение квадратичной формы  при помощи ортогонального преобразования к канонической форме (43) называется приведением к главным осям. Это название связано с тем, что уравнение центральной гиперповерхности второго порядка,

,                    (44)

при ортогональном преобразовании переменных (42) принимает канонический вид

.                   (45)

Если мы будем рассматривать  как координаты в некотором ортонормированном базисе -мерного евклидова пространства, то  будут координатами в новом ортонормированном базисе того же пространства, причем «поворот» осей осуществляется ортогональным преобразованием (42). Новые оси координат являются осями симметрии центральной поверхности (44) и обычно называются главными осями этой поверхности.

Из формулы (43) следует, что ранг  формы  равен числу отличных от нуля характеристических чисел матрицы , а сигнатура  равна разности между числом положительных и числом отрицательных характеристических чисел матрицы .

Отсюда, в частности, вытекает и такое предложение:

Если при непрерывном изменении коэффициентов квадратичной формы остается неизменным ее ранг, то при этом изменении коэффициентов остается неизменной и ее сигнатура.

При этом мы исходим из того, что непрерывное изменение коэффициентов влечет непрерывное изменение характеристических чисел. Сигнатура может измениться лишь тогда, когда какое-либо характеристическое число поменяет знак. Но тогда в какой-то промежуточный момент рассматриваемое характеристическое число обратится в нуль, что влечет изменение ранга формы.

Из формулы (43) также следует, что вещественная симметрическая матрица  является положительно полуопределенной (положительно определенной) в том и только в том случае, когда все характеристические числа матрицы  неотрицательны (положительны), т. е. когда она представима в виде

.                (46)

Положительно полуопределенная (определенная) матрица

                (47)

является корнем квадратным из положительно полуопределенной (определенной) матрицы :

.                    (48)