Читать в оригинале

<< ПредыдущаяОглавлениеСледующая >>


§ 4. Ассоциированные матрицы. Миноры обратной матрицы

Пусть дана матрица . Рассмотрим всевозможные миноры -го () порядка матрицы :

.                 (31)

Число этих миноров равно , где  — число сочетаний из  по . Для того чтобы расположить миноры (31) в квадратную таблицу, занумеруем в определенном (например, лексикографическом) порядке все сочетания по  из  индексов .

Если сочетания индексов  и  при этой нумерации будут иметь номера  и , то минор (31) будем обозначать и так:

.

Давая  и  независимо друг от друга все значения от 1 до , мы охватим все миноры -го порядка матрицы.

 Квадратная матрица -го порядка

называется -й ассоциированной матрицей для матрицы   может принимать значения . При этом , а матрица  состоит из одного элемента, равного .

Замечание. Порядок нумерации сочетаний индексов фиксируется раз и навсегда и не связан с выбором матрицы .

Пример. Пусть

.

Перенумеруем все сочетания из четырех индексов 1, 2, 3, 4 по два, расположив их в следующем порядке:

(1 2)  (1 3)  (1 4)  (2 3)  (2 4)  (3 4).

Тогда

.

Отметим некоторые свойства ассоциированных матриц:

1 Из  следует  ().

Действительно, выражая миноры -го порядка ()  матрицы-произведения  через миноры того же порядка матриц-сомножителей по формуле (18), будем иметь:

 

.            (32)

Очевидно, в обозначениях этого параграфа равенство (32) может быть записано так:

  

(здесь , ,  – номера сочетаний индексов ; ; ). Отсюда:

  .

2  Из  следует  ().

Это предложение непосредственно вытекает из предыдущего, если там положить  и обратить внимание на то, что  — единичная матрица порядка .

Из предложения 2° вытекает важная формула, выражающая миноры обратной матрицы через миноры данной матрицы:

Если , то при любых

,      (33)

где  вместе с , а  вместе с  составляют полную систему индексов .

Действительно, из  следует:

или в более подробной записи:

                        (34)

Равенства (34) могут быть записаны еще так:

.                     (34')

С другой стороны, применяя к определителю  известные разложения Лапласа, получаем:

     (35)

где  вместе с , а  вместе с  образуют полную систему индексов . Сопоставление (35) с (34') и (34) показывает, что равенство (34) удовлетворяются, если вместо  взять не , а

Так как из системы (34) элементы  обратной матрицы для  определяются однозначно, то имеет место равенство (33).

 



<< ПредыдущаяОглавлениеСледующая >>