§ 4. Ассоциированные матрицы. Миноры обратной матрицы

Пусть дана матрица . Рассмотрим всевозможные миноры -го () порядка матрицы :

. (31)

Число этих миноров равно , где — число сочетаний из по . Для того чтобы расположить миноры (31) в квадратную таблицу, занумеруем в определенном (например, лексикографическом) порядке все сочетания по из индексов .

Если сочетания индексов и при этой нумерации будут иметь номера и , то минор (31) будем обозначать и так:

Давая и независимо друг от друга все значения от 1 до , мы охватим все миноры -го порядка матрицы.

Квадратная матрица -го порядка

называется -й ассоциированной матрицей для матрицы может принимать значения . При этом , а матрица состоит из одного элемента, равного .

Замечание. Порядок нумерации сочетаний индексов фиксируется раз и навсегда и не связан с выбором матрицы .

Пример. Пусть

Перенумеруем все сочетания из четырех индексов 1, 2, 3, 4 по два, расположив их в следующем порядке:

(1 2) (1 3) (1 4) (2 3) (2 4) (3 4).

Тогда

Отметим некоторые свойства ассоциированных матриц:

1 Из следует ().

Действительно, выражая миноры -го порядка () матрицы-произведения через миноры того же порядка матриц-сомножителей по формуле (18), будем иметь:

. (32)

Очевидно, в обозначениях этого параграфа равенство (32) может быть записано так:

(здесь , , – номера сочетаний индексов ; ; ). Отсюда:

2 Из следует ().

Это предложение непосредственно вытекает из предыдущего, если там положить и обратить внимание на то, что — единичная матрица порядка .

Из предложения 2° вытекает важная формула, выражающая миноры обратной матрицы через миноры данной матрицы:

Если , то при любых

, (33)

где вместе с , а вместе с составляют полную систему индексов .

Действительно, из следует:

или в более подробной записи:

(34)

Равенства (34) могут быть записаны еще так:

. (34')

С другой стороны, применяя к определителю известные разложения Лапласа, получаем:

(35)

где вместе с , а вместе с образуют полную систему индексов . Сопоставление (35) с (34') и (34) показывает, что равенство (34) удовлетворяются, если вместо взять не , а

Так как из системы (34) элементы обратной матрицы для определяются однозначно, то имеет место равенство (33).