§ 5. Обращение прямоугольных матриц. Псевдообратная матрица

Если — квадратная и неособенная матрица, то для нее существует обратная матрица . Если же — не квадратная, а прямоугольная -матрица () или квадратная, но особенная, то матрица не имеет обратной и символ не имеет смысла. Однако, как будет показано далее, для произвольной прямоугольной матрицы существует «псевдообратная» матрица , которая обладает некоторыми свойствами обратной матрицы и имеет важные применения при решении системы линейных уравнений. В случае, когда — квадратная неособенная матрица, псевдообратная матрица совпадает с обратной .

1. Скелетное разложение матрицы. В дальнейшем мы будем пользоваться представлением произвольной прямоугольной -матрицы ранга в виде произведения двух матриц и , имеющих соответственно размеры и :

. (36)

Здесь ранги сомножителей и обязательно равны рангу произведения ,. Действительно (см. стр. 22), Но ранги и не могут превосходить , так как — один из размеров матриц и . Поэтому .

Для того чтобы получить разложение (36), достаточно в качестве столбцов матрицы взять любые линейно независимых столбцов матрицы , либо любые линейно независимых столбцов, через которые линейно выражаются столбцы матрицы . Тогда произвольный -й столбец матрицы будет линейной комбинацией столбцов матрицы с коэффициентами ; эти коэффициенты и образуют -й столбец матрицы (, см. стр. 19).

Поскольку матрицы и имеют максимально возможный ранг , то квадратные матрицы и являются неособенными:

, . (37)

Действительно, пусть столбец — произвольное решение уравнения

. (38)

Помножим это уравнение слева на строку . Тогда . Отсюда следует и (поскольку — линейная комбинация линейно независимых столбцов матрицы ; ср. с формулой (13")) . Из того, что уравнение (38) имеет только нулевое решение , вытекает, что. Аналогично устанавливается второе неравенство (37).

Разложение (36) будем называть скелетным разложением матрицы .

2. Существование и единственность псевдообратной матрицы. Рассмотрим матричное уравнение

. (39)

Если — квадратная неособенная матрица, то это уравнение имеет единственное решение . Если же — произвольная прямоугольная -матрица, то искомое решение имеет размеры но не определяется однозначно. В общем случае уравнение (39) имеет бесчисленное множество решений. Ниже будет показано, что среди этих решений имеется только одно, обладающее тем свойством, что его строки и столбцы являются линейными комбинациями соответственно строк и столбцов сопряженной матрицы . Именно это решение мы будем называть псевдообратной матрицей для и обозначать через .

Определение 5. Матрица размеров называется псевдообратной для -матрицы , если выполняются равенства

, (40)

, (41)

где и — некоторые матрицы

Докажем сначала, что для данной матрицы не может существовать двух различных псевдообратных матриц и . Действительно, из равенств

, , ,

Полагая , , , найдем:

, .

Отсюда

и, следовательно (см. конец § 3),

Но тогда , т.е. .

Для того чтобы установить существование матрицы , мы воспользуемся скелетным разложением (36) и будем искать сначала псевдообратные матрицы и . Так как по определению должны иметь место равенства

, (42)

где — некоторая матрица, то

Умножая слева на и замечая, что — неособенная квадратная матрица, найдем:

Но тогда второе из равенств (42) дает искомое выражение для :

. (43)

Совершенно аналогично найдем:

. (44)

Покажем теперь, что матрица

(45)

удовлетворяет условиям (40), (41) и, следовательно, является псевдообратной матрицей для .

В самом деле,

С другой стороны, из равенств (43), (44) и (45) с учетом равенства , полагая, находим

где

, .

Таким образом доказано, что для произвольной прямоугольной матрицы существует одна и только одна псевдообратная матрица , которая определяется формулой (45), где и — сомножители в скелетном разложении матрицы . Из самого определения псевдообратной матрицы непосредственно следует, что в случае квадратной неособенной матрицы псевдообратная матрица совпадает с обратной .

Пример. Пусть

Здесь . в качестве столбцов матрицы первые два столбца матрицы . Тогда

, .

Поэтому, согласно формуле (45)

3. Свойства псевдообратной матрицы. Отметим следующие свойства псевдообратной матрицы:

1 ;

2 ;

3 , ;

4 , .

Первое свойство означает, что операции перехода к сопряженной и к псевдообратной матрице перестановочны между собой. Равенство 2° выражает собой взаимность понятия псевдообратной матрицы, тан как согласно 2° псевдообратной матрицей для является исходная матрица . Согласно равенствам 3° и 4° матрицы и являются эрмитовыми и инволютивными (квадрат каждой из этих матриц равен самой матрице).

Для вывода равенства 1° воспользуемся скелетным разложением (36): . Тогда равенство дает скелетное разложение матрицы . Поэтому, заменяя в формуле (45) матрицу на , а матрицу на , получим:

Равенства , , являются скелетными разложениями. Следовательно,

Используя свойство 1°, а также выражения для и , найдем:

Справедливость равенств 3° и 4° проверяется непосредственно путем подстановки в эти равенства вместо соответствующего выражения из формулы (45).

Заметим, что в общем случае, когда разложение не является скелетным, не всегда имеет место равенство . Так, например

Здесь

, ,

Поэтому

4. Наилучшее приближенное решение (по методу наименьших квадратов). Рассмотрим произвольную систему линейных уравнений

(46)

или в матричной записи

. (46')

Здесь - заданные числа, а – искомые.

В общем случае система (46) может быть и несовместной.

Столбец

(47)

называется наилучшим приближенным решением системы (46), если при значениях «квадратичное отклонение»

(48)

достигает своего наименьшего значения и среди всех столбцов , для которых это отклонение имеет минимальное значение, столбец имеет наименьшую «длину», т. е. для этого столбца величина

(49)

имеет наименьшее значение.

Покажем, что система (46) всегда имеет одно и только одно наилучшее приближенное решение и это приближенное решение определяется по формуле

, (50)

где — псевдообратная матрица для матрицы .

Для этого рассмотрим произвольный столбец и положим

где

, . (51)

Тогда

. (52)

Но

. (53)

Исходя из разложения (36) и формулы (45), найдем:

Поэтому из равенства (53) следует

, (54)

но тогда и

. (54')

Поэтому из равенства (52) находим

, (55)

и, следовательно, для любого столбца

. (56)

Пусть теперь

;

тогда, согласно равенству (55)

, (57)

где

С другой стороны,

. (58)

Вспоминая, что (см.определение 5), получим в силу (57):

. (59)

Но тогда и

Поэтому из равенства (58) находим

и, следовательно

, (60)

причем знак = имеет место только при , т.е. при , где .

Пример. Найти наилучшее приближенное решение (по методу наименьших квадратов) системы линейных уравнений:

Здесь

Но тогда (см. пример на стр. 35)

и поэтому

Следовательно,

, , , .

Определим норму - матрицы как неотрицательное число, задаваемое формулой

. (61)

При этом очевидно, что

. (61')

Рассмотрим матричное уравнение

, (62)

где и – заданные и -матрицы, а - искомая -матрица.

Определим наилучшее приближенное решение уравнения (62) из условия

причем в случае, когда

требуется, чтобы

Из соотношений

, (63)

(64)

следует, что -й столбец искомой матрицы должен быть наилучшим приближенным решением системы линейных уравнений

Поэтому

Поскольку это равенство справедливо при любом то

. (65)

Таким образом, уравнение (62) всегда имеет одно и только одно наилучшее приближенное решение, определяемое формулой (65).

В частном случае, когда — единичная матрица -го порядка, имеем . Следовательно, псевдообратная матрица является наилучшим приближенным решением (по методу наименьших квадратов) матричного уравнения

Это свойство псевдообратной матрицы может быть принято в качестве ее определения.

5. Метод Гревилля последовательного нахождения псевдообратной матрицы состоит в следующем. Пусть - -й столбец в -матрице , — матрица, образованная первыми столбцами матрицы . — последняя строка в матрице (, , ). Тогда

(66)

и для имеют место рекуррентные формулы

, , ; (67)

при этом, если , то

; (68)

если же , т.е. , то

. (69)

Предлагаем читателю проверить, что матрица является псевдообратной для матрицы , если матрица и строка определяются формулами (61)-(64). Этот метод не требует вычисления детерминантов и может быть использован для вычисления обратной матрицы. Пример. Пусть

Заметим. Что для каждой матрицы мы можем писать вместо . Тогда

, ,

Таким образом

и .

Поэтому