§ 7. Экстремальные свойства характеристических чисел регулярного пучка форм

1. Пусть даны две квадратичные формы:

и ,

причем форма - положительно определенная. Характеристические числа регулярного пучка форм занумеруем так, чтобы они шли в неубывающем порядке:

(69)

Соответствующие этим характеристическим числам главные векторы по-прежнему будем обозначать через :

;

Определим наименьшее значение (минимум) отношения форм , рассматривая все возможные значения переменных, не равные одновременно нулю . Для этого удобно перейти к новым переменным при помощи преобразования

где - главная матрица пучка . В новых переменных отношение форм представится в виде [см. (63)]

(70)

Возьмем на числовой оси точек . Припишем этим точкам соответственно неотрицательные массы . Тогда согласно формуле (70) отношение будет числовой координатой центра этих масс. Поэтому

Отбрасывая временно вторую часть неравенства, выясним, когда в первой части имеет место знак равенства. Для этого выделим в (69) группы равных характеристических чисел:

(71)

Центр масс может совпадать с крайней точкой , лишь в том случае, когда все массы вне этой точки равны нулю, т. е. когда

В этом случае соответствующее будет линейной комбинацией главных столбцов . Поскольку все эти столбцы отвечают характеристическим числам, равным , то и будет главным столбцом (вектором) для .

Нами доказана

Теорема 10. Наименьшее характеристическое число регулярного пучка является минимумом отношения форм и .

, (72)

причем этот минимум достигается только на векторах, являющихся главными для характеристического числа .

2. Для того чтобы дать аналогичную «минимальную» характеристику для следующего характеристического числа , ограничимся рассмотрением всех векторов , ортогональных к , т. е. удовлетворяющих уравнению

Для этих векторов

и, следовательно,

При этом знак равенства достигается только на тех векторах, ортогональных к которые являются главными для характеристического числа .

Переходя к дальнейшим характеристическим числам, мы в конце концов получим следующую теорему:

Теорема 11. При любом -е по величине характеристическое число в ряду (69) является минимумом отношения форм

, (73)

при условии, что варьируемый вектор ортогонален к первым ортонормированным главным векторам.

(74)

При этом минимум достигается только на тех векторах, которые удовлетворяют условию (74) и являются одновременно главными векторами для характеристического числа .

3. Характеристика числа , данная в теореме 11, имеет то неудобство, что она связана с предыдущими главными векторами и, следовательно, может быть использована только тогда, когда эти векторы известны. Кроме того, в выборе этих векторов имеется известный произвол.

Для того чтобы дать характеристику числа , свободную от указанных недостатков, мы введем понятие о связях, наложенных на переменные .

Пусть даны линейные формы от переменных :

(74’)

Мы будем говорить, что на переменные или (что то же) на вектор наложены связей , если рассматриваются лишь значения переменных, удовлетворяющие системе уравнений.

(74’’)

Сохраняя обозначения (74’) для произвольных линейных форм, мы введем специализированные обозначения для «скалярных обозначений» вектора на главные векторы :

(75)

Кроме того, в случае, когда на варьируемый вектор наложены связи (74’’), будем обозначать так:

В этих обозначениях равенство (73) запишется так:

(76)

Рассмотрим связи

(77)

(78)

Поскольку число связей (77) и (78) меньше , то существует вектор , удовлетворяющий одновременно всем этим связям. Так как связи (78) выражают ортогональность вектора к главным векторам , то соответствующие вектору координаты . Поэтому, согласно (70)

Но тогда

Это неравенство в соединении с (76) показывает, что при варьировании связей величина остается и достигает , если взять специализированные связи.

Нами доказана

Теорема 12. Если мы рассмотрим минимум отношения двух форм при произвольных связях и будем варьировать связи, то максимум этих минимумов будет равен :

(79)

Теорема 12 дает «максимально-минимальную» характеристику числам в отличие от «минимальной» характеристики, о которой идет речь в теореме 11.

4. Заметим, что при замене формы в пучке на форму все характеристические числа пучка меняют знак, а соответствующие главные векторы остаются неизменными. Таким образом, характеристическими числами пучка являются числа .

Кроме того, обозначая через

(80)

в случае, когда на варьируемый вектор наложены связи , мы сможем написать:

Поэтому, применяя к отношению теоремы 10, 11, 12, мы вместо формул (72), (76), (79) получим формулы

Эти формулы устанавливают соответственно «максимальные» и «минимально-максимальные» свойства чисел , которые мы сформулируем в виде следующей теоремы:

Теорема 13. Пусть характеристическим числам

регулярного пучка форм соответствуют линейно независимые главные векторы пучка . Тогда

1) Наибольшее характеристическое число является максимумом отношения форм

(81)

причем этот максимум достигается только на главных векторах пучка, соответствующих характеристическому числу .

2) -е (с конца) характеристическое число является максимумом того же отношения форм

(82)

при условии, что на варьируемый вектор наложены связи:

(83)

т. е.

(84)

этот максимум достигается только на главных векторах пучка, соответствующих характеристическому числу и удовлетворяющих связям (83).

3) Если в максимуме отношения форм при связях

варьировать связи, то наименьшее значение (минимум) этого максимума равно :

(85)

5. Пусть даны независимых связей

(86)

Тогда из них можно выразить из переменных через остальные переменные, которые мы обозначим буквами . Поэтому при наложении связей (86) регулярный пучок форм переходит в пучок , причем - снова положительно определенная форма (только от переменных). Полученный таким образом регулярный пучок имеет вещественных характеристических чисел

(87)

При наложении связей (86) можно по-разному выразить все переменные через независимых . Однако характеристические числа (87) не зависят от этого произвола и имеют вполне определенные значения. Это следует хотя бы из максимально-минимальных свойств характеристических чисел

(88)

и вообще

, (89)

при этом в формуле (89) варьируются только связи .

Имеет место

Теорема 14. Если - характеристические числа регулярного пучка форм , а - характеристические числа того же пучка при наложении независимых связей, то

(90)

Доказательство. Неравенства сразу следуют из формул (79) и (89). Действительно, при добавлении новых связей величина минимума увеличивается или остается прежней. Поэтому

Отсюда

Вторые части неравенства (90) имеют место в силу соотношений

Здесь в правой части варьируются не только связи , но и связи ; в левой же части последние связи заменены фиксированными .

Теорема доказана.

6. Пусть даны два регулярных пучка форм

, (91)

и пусть при любом

Тогда, очевидно,

Поэтому, обозначая через и соответственно характеристические числа пучков (91), будем иметь:

Таким образом, доказана

Теорема 15. Если даны два регулярных пучка форм и с характеристическими числами и соответственно то из тождественного соотношения

(92)

следует:

(93)

Рассмотрим частный случаи, когда в неравенстве . В этом случае разность является неотрицательной квадратичной формой и поэтому может быть представлена в виде суммы независимых положительных квадратов:

Тогда при наложении независимых связей

Формы и совпадают, и пучки и имеют одни и те же характеристические числа

Применяя теорему 14 к каждому из и , будем иметь:

Присоединяя сюда неравенство (93), приходим к теореме:

Теорема 16. Если и - характеристические числа двух регулярных пучков и , где

а - независимые линейные формы, то имеют место неравенства

(94)

Совершенно аналогично доказывается

Теорема 17. Если и - характеристические числа регулярных пучков форм и , где форма получается из прибавлением положительных квадратов, то имеют место неравенства

(95)

Замечание. В теоремах 16 и 17 можно утверждать, что при некотором имеем (соответственно ), если, конечно, .