§ 7. Экстремальные свойства характеристических чисел регулярного пучка форм
1. Пусть даны две квадратичные формы:
и
,
причем форма
- положительно определенная. Характеристические числа регулярного пучка форм
занумеруем так, чтобы они шли в неубывающем порядке:
(69)
Соответствующие этим характеристическим числам главные векторы по-прежнему будем обозначать через
:
; 
Определим наименьшее значение (минимум) отношения форм
, рассматривая все возможные значения переменных, не равные одновременно нулю
. Для этого удобно перейти к новым переменным
при помощи преобразования
,
где
- главная матрица пучка
. В новых переменных отношение форм представится в виде [см. (63)]
(70)
Возьмем на числовой оси
точек
. Припишем этим точкам соответственно неотрицательные массы
. Тогда согласно формуле (70) отношение
будет числовой координатой центра этих масс. Поэтому
.
Отбрасывая временно вторую часть неравенства, выясним, когда в первой части имеет место знак равенства. Для этого выделим в (69) группы равных характеристических чисел:
(71)
Центр масс может совпадать с крайней точкой
, лишь в том случае, когда все массы вне этой точки равны нулю, т. е. когда
.
В этом случае соответствующее
будет линейной комбинацией главных столбцов
. Поскольку все эти столбцы отвечают характеристическим числам, равным
, то и
будет главным столбцом (вектором) для
.
Нами доказана
Теорема 10. Наименьшее характеристическое число регулярного пучка
является минимумом отношения форм
и
.
, (72)
причем этот минимум достигается только на векторах, являющихся главными для характеристического числа
.
2. Для того чтобы дать аналогичную «минимальную» характеристику для следующего характеристического числа
, ограничимся рассмотрением всех векторов
, ортогональных к
, т. е. удовлетворяющих уравнению
.
Для этих векторов

и, следовательно,

При этом знак равенства достигается только на тех векторах, ортогональных к
которые являются главными для характеристического числа
.
Переходя к дальнейшим характеристическим числам, мы в конце концов получим следующую теорему:
Теорема 11. При любом
-е по величине характеристическое число
в ряду (69) является минимумом отношения форм
, (73)
при условии, что варьируемый вектор
ортогонален к первым
ортонормированным главным векторам
.
(74)
При этом минимум достигается только на тех векторах, которые удовлетворяют условию (74) и являются одновременно главными векторами для характеристического числа
.
3. Характеристика числа
, данная в теореме 11, имеет то неудобство, что она связана с предыдущими главными векторами
и, следовательно, может быть использована только тогда, когда эти векторы известны. Кроме того, в выборе этих векторов имеется известный произвол.
Для того чтобы дать характеристику числа
, свободную от указанных недостатков, мы введем понятие о связях, наложенных на переменные
.
Пусть даны линейные формы от переменных
:
(74’)
Мы будем говорить, что на переменные
или (что то же) на вектор
наложены
связей
, если рассматриваются лишь значения переменных, удовлетворяющие системе уравнений.
(74’’)
Сохраняя обозначения (74’) для произвольных линейных форм, мы введем специализированные обозначения для «скалярных обозначений» вектора
на главные векторы
:
(75)
Кроме того, в случае, когда на варьируемый вектор наложены связи (74’’), будем обозначать
так:
.
В этих обозначениях равенство (73) запишется так:
(76)
Рассмотрим связи
(77)
и
(78)
Поскольку число связей (77) и (78) меньше
, то существует вектор
, удовлетворяющий одновременно всем этим связям. Так как связи (78) выражают ортогональность вектора
к главным векторам
, то соответствующие вектору
координаты
. Поэтому, согласно (70)

Но тогда

Это неравенство в соединении с (76) показывает, что при варьировании связей
величина
остается
и достигает
, если взять специализированные связи
.
Нами доказана
Теорема 12. Если мы рассмотрим минимум отношения двух форм
при произвольных
связях
и будем варьировать связи, то максимум этих минимумов будет равен
:
(79)
Теорема 12 дает «максимально-минимальную» характеристику числам
в отличие от «минимальной» характеристики, о которой идет речь в теореме 11.
4. Заметим, что при замене формы
в пучке
на форму
все характеристические числа пучка меняют знак, а соответствующие главные векторы остаются неизменными. Таким образом, характеристическими числами пучка
являются числа
.
Кроме того, обозначая через
(80)
в случае, когда на варьируемый вектор наложены связи
, мы сможем написать:

и

Поэтому, применяя к отношению
теоремы 10, 11, 12, мы вместо формул (72), (76), (79) получим формулы

Эти формулы устанавливают соответственно «максимальные» и «минимально-максимальные» свойства чисел
, которые мы сформулируем в виде следующей теоремы:
Теорема 13. Пусть характеристическим числам

регулярного пучка форм
соответствуют линейно независимые главные векторы пучка
. Тогда
1) Наибольшее характеристическое число
является максимумом отношения форм
(81)
причем этот максимум достигается только на главных векторах пучка, соответствующих характеристическому числу
.
2)
-е (с конца) характеристическое число является максимумом того же отношения форм
(82)
при условии, что на варьируемый вектор
наложены связи:
(83)
т. е.
(84)
этот максимум достигается только на главных векторах пучка, соответствующих характеристическому числу
и удовлетворяющих связям (83).
3) Если в максимуме отношения форм
при связях

варьировать связи, то наименьшее значение (минимум) этого максимума равно
:
(85)
5. Пусть даны
независимых связей
(86)
Тогда из них можно выразить
из переменных
через остальные переменные, которые мы обозначим буквами
. Поэтому при наложении связей (86) регулярный пучок форм
переходит в пучок
, причем
- снова положительно определенная форма (только от
переменных). Полученный таким образом регулярный пучок имеет
вещественных характеристических чисел
(87)
При наложении связей (86) можно по-разному выразить все переменные через
независимых
. Однако характеристические числа (87) не зависят от этого произвола и имеют вполне определенные значения. Это следует хотя бы из максимально-минимальных свойств характеристических чисел
(88)
и вообще
, (89)
при этом в формуле (89) варьируются только связи
.
Имеет место
Теорема 14. Если
- характеристические числа регулярного пучка форм
, а
- характеристические числа того же пучка при наложении
независимых связей, то
(90)
Доказательство. Неравенства
сразу следуют из формул (79) и (89). Действительно, при добавлении новых связей величина минимума
увеличивается или остается прежней. Поэтому

Отсюда
.
Вторые части неравенства (90) имеют место в силу соотношений

Здесь в правой части варьируются не только связи
, но и связи
; в левой же части последние связи заменены фиксированными
.
Теорема доказана.
6. Пусть даны два регулярных пучка форм
,
(91)
и пусть при любом 
.
Тогда, очевидно,
.
Поэтому, обозначая через
и
соответственно характеристические числа пучков (91), будем иметь:

Таким образом, доказана
Теорема 15. Если даны два регулярных пучка форм
и
с характеристическими числами
и
соответственно то из тождественного соотношения
(92)
следует:
(93)
Рассмотрим частный случаи, когда в неравенстве
. В этом случае разность
является неотрицательной квадратичной формой и поэтому может быть представлена в виде суммы независимых положительных квадратов:

Тогда при наложении
независимых связей

Формы
и
совпадают, и пучки
и
имеют одни и те же характеристические числа
.
Применяя теорему 14 к каждому из
и
, будем иметь:
.
Присоединяя сюда неравенство (93), приходим к теореме:
Теорема 16. Если
и
- характеристические числа двух регулярных пучков
и
, где

а
- независимые линейные формы, то имеют место неравенства
(94)
Совершенно аналогично доказывается
Теорема 17. Если
и
- характеристические числа регулярных пучков форм
и
, где форма
получается из
прибавлением
положительных квадратов, то имеют место неравенства
(95)
Замечание. В теоремах 16 и 17 можно утверждать, что при некотором
имеем
(соответственно
), если, конечно,
.