§ 8. Малые колебания системы с n степенями свободы

Результаты предыдущих двух параграфов имеют важные приложения в теории малых колебании механической системы с степенями свободы.

Рассмотрим свободные колебания консервативной механической системы с степенями свободы вблизи ее устойчивого положения равновесия. Отклонение системы от положения равновесия будем задавать при помощи независимых обобщенных координат . Само положение равновесия при этом соответствует нулевым значениям этих координат . Тогда кинетическая энергия системы представится в виде квадратичной формы относительно обобщенных скоростей .

Разлагая коэффициенты в ряд по степеням ,

и сохраняя (ввиду малости отклонении ) только постоянные члены , будем иметь:

(, )

Кинетическая энергия всегда положительна и обращается в нуль только при нулевых скоростях . Поэтому - положительно определенная форма.

Потенциальная энергия системы является функцией от координат: . Не нарушая общности, можем принять . Тогда, разлагая потенциальную энергию в ряд по степеням , получим:

Поскольку в положении равновесия потенциальная энергия всегда имеет стационарное значение, то

Сохраняя только члены второго порядка относительно , мы будем иметь

Таким образом, потенциальная энергия и кинетическая энергия определяются двумя квадратичными формами:

, (96)

причем вторая форма - положительно определенная.

Напишем теперь дифференциальные уравнения движения в форме уравнений Лагранжа второго рода:

(97)

Подставляя сюда вместо и их выражения из (96), получаем

(98)

Вводя в рассмотрение вещественные симметрические матрицы

и столбцевую матрицу мы систему уравнений (98) можем записать в следующей матричной форме:

(98')

Будем искать решения системы (98) в виде гармонических колебаний

;

в матричной записи

(99)

Здесь - постоянный амплитудный столбец («вектор»), - частота и - начальная фаза колебаний.

Подставляя выражение (99) для q в (98'), получим после сокращения на :

Но это уравнение совпадает с уравнением (49). Следовательно, искомый амплитудный вектор является главным вектором, а квадрат частоты - соответствующим характеристическим числом регулярного пучка форм .

Мы наложим на потенциальную энергию дополнительное ограничение, потребовав, чтобы функция в положении равновесия имела строгий минимум.

Тогда на основании теоремы Лежен-Дирихле положение равновесия системы будет устойчивым. С другой стороны, сделанное нами допущение означает, что квадратичная форма также является положительно определенной.

Согласно теореме 8 регулярный пучок форм имеет вещественных характеристических чисел и соответствующих этим числам главных векторов [; ], удовлетворяющих условиям

(100)

Из положительной определенности формы следует, что все характеристические числа пучка положительны:

Но тогда существует гармонических колебаний

(,) (101)

амплитудные векторы которых , удовлетворяют условиям «ортонормированности» (100).

В силу линейности уравнения (98') произвольное колебание может быть получено наложением гармонических колебаний (101):

(102)

где , - произвольные постоянные. Действительно, при любых значениях этих постоянных выражение (102) является решением уравнения (98'). С другой стороны, за счет произвольных постоянных можно удовлетворить любым начальным условиям:

, .

В самом деле, из (102) находим:

, (103)

Поскольку главные столбцы всегда линейно независимы, то из равенств (103) однозначно определяются величины и , следовательно, произвольные постоянные и .

Решение (102) нашей системы дифференциальных уравнений (98) может быть более подробно записано так:

(104)

Заметим, что к тем же формулам (102), (104) можно прийти, исходя из теоремы 9. Действительно, рассмотрим неособенное преобразование переменных с матрицей , приводящее одновременно обе формы и к каноническому виду (63). Полагая

(105)

или в сокращенной записи

(106)

и замечая, что , будем иметь:

, (107)

Координаты , в которых потенциальная и кинетическая энергии представляются в виде (107), называются нормальными координатами.

Воспользуемся уравнениями Лагранжа второго рода (98), подставив в них вместо и их выражения (107). Получим:

(108)

Поскольку форма - положительно определенная, то все числа положительны и могут быть представлены в виде

(,) (109)

Из (107) и (108) находим:

(110)

Подставляя эти выражения для в равенства (105), получим снова формулы (104) и, следовательно, (102). Величины при обоих выводах будут одни и те же, поскольку согласно теореме 9 матрица в (106) есть главная матрица регулярного пучка форм .

Отметим еще механическую интерпретацию теорем 14 и 15.

Занумеруем частоты данной механической системы в порядке неубывания:

Этим определится и расположение соответствующих характеристических чисел пучка :

Наложим на данную систему независимых конечных стационарных связей. Поскольку отклонения считаются малыми величинами, то эти связи можно считать линейными относительно :

После наложения связей наша система будет иметь степеней свободы. Частоты этой системы

связанны с характеристическими числами пучка при наложении связей соотношениями . Поэтому из теоремы 14 непосредственно следует:

Таким образом, при наложении связей частоты системы могут только увеличиться, однако при этом величина новой -й частоты не может превзойти величины прежней -й частоты .

Точно так же на основании теоремы 15 можно утверждать, что при увеличении жесткости системы, т.е. при увеличении формы для потенциальной энергии (без изменения формы ), частоты могут только увеличиться, а при увеличении инерции системы, т.е при увеличении формы для кинетической энергии (без изменения формы ), частоты могут только уменьшиться.

Теоремы 16 и 17 вносят дополнительное уточнение в это положение.