§ 8. Малые колебания системы с n степенями свободы
Результаты предыдущих двух параграфов имеют важные приложения в теории малых колебании механической системы с
степенями свободы.
Рассмотрим свободные колебания консервативной механической системы с
степенями свободы вблизи ее устойчивого положения равновесия. Отклонение системы от положения равновесия будем задавать при помощи независимых обобщенных координат
. Само положение равновесия при этом соответствует нулевым значениям этих координат
. Тогда кинетическая энергия системы представится в виде квадратичной формы относительно обобщенных скоростей
.

Разлагая коэффициенты
в ряд по степеням
,
и сохраняя (ввиду малости отклонении
) только постоянные члены
, будем иметь:
(
,
)
Кинетическая энергия всегда положительна и обращается в нуль только при нулевых скоростях
. Поэтому
- положительно определенная форма.
Потенциальная энергия системы является функцией от координат:
. Не нарушая общности, можем принять
. Тогда, разлагая потенциальную энергию в ряд по степеням
, получим:

Поскольку в положении равновесия потенциальная энергия всегда имеет стационарное значение, то

Сохраняя только члены второго порядка относительно
, мы будем иметь
.
Таким образом, потенциальная энергия
и кинетическая энергия
определяются двумя квадратичными формами:
,
(96)
причем вторая форма - положительно определенная.
Напишем теперь дифференциальные уравнения движения в форме уравнений Лагранжа второго рода:
(97)
Подставляя сюда вместо
и
их выражения из (96), получаем
(98)
Вводя в рассмотрение вещественные симметрические матрицы
и 
и столбцевую
матрицу мы систему уравнений (98) можем записать в следующей матричной форме:
(98')
Будем искать решения системы (98) в виде гармонических колебаний
;
в матричной записи
(99)
Здесь
- постоянный амплитудный столбец («вектор»),
- частота и
- начальная фаза колебаний.
Подставляя выражение (99) для q в (98'), получим после сокращения на
:
.
Но это уравнение совпадает с уравнением (49). Следовательно, искомый амплитудный вектор является главным вектором, а квадрат частоты
- соответствующим характеристическим числом регулярного пучка форм
.
Мы наложим на потенциальную энергию дополнительное ограничение, потребовав, чтобы функция
в положении равновесия имела строгий минимум.
Тогда на основании теоремы Лежен-Дирихле положение равновесия системы будет устойчивым. С другой стороны, сделанное нами допущение означает, что квадратичная форма
также является положительно определенной.
Согласно теореме 8 регулярный пучок форм
имеет
вещественных характеристических чисел
и
соответствующих этим числам главных векторов
[
;
], удовлетворяющих условиям
(100)
Из положительной определенности формы
следует, что все характеристические числа пучка
положительны:

Но тогда существует
гармонических колебаний
(
,
) (101)
амплитудные векторы которых
, удовлетворяют условиям «ортонормированности» (100).
В силу линейности уравнения (98') произвольное колебание может быть получено наложением гармонических колебаний (101):
(102)
где
,
- произвольные постоянные. Действительно, при любых значениях этих постоянных выражение (102) является решением уравнения (98'). С другой стороны, за счет произвольных постоянных можно удовлетворить любым начальным условиям:
,
.
В самом деле, из (102) находим:
,
(103)
Поскольку главные столбцы
всегда линейно независимы, то из равенств (103) однозначно определяются величины
и
, следовательно, произвольные постоянные
и
.
Решение (102) нашей системы дифференциальных уравнений (98) может быть более подробно записано так:
(104)
Заметим, что к тем же формулам (102), (104) можно прийти, исходя из теоремы 9. Действительно, рассмотрим неособенное преобразование переменных с матрицей
, приводящее одновременно обе формы
и
к каноническому виду (63). Полагая
(105)
или в сокращенной записи
(106)
и замечая, что
, будем иметь:
,
(107)
Координаты
, в которых потенциальная и кинетическая энергии представляются в виде (107), называются нормальными координатами.
Воспользуемся уравнениями Лагранжа второго рода (98), подставив в них вместо
и
их выражения (107). Получим:
(108)
Поскольку форма
- положительно определенная, то все числа
положительны и могут быть представлены в виде
(
,
) (109)
Из (107) и (108) находим:
(110)
Подставляя эти выражения для
в равенства (105), получим снова формулы (104) и, следовательно, (102). Величины
при обоих выводах будут одни и те же, поскольку согласно теореме 9 матрица
в (106) есть главная матрица регулярного пучка форм
.
Отметим еще механическую интерпретацию теорем 14 и 15.
Занумеруем частоты
данной механической системы в порядке неубывания:

Этим определится и расположение соответствующих характеристических чисел
пучка
:

Наложим на данную систему
независимых конечных стационарных связей. Поскольку отклонения
считаются малыми величинами, то эти связи можно считать линейными относительно
:

После наложения связей наша система будет иметь
степеней свободы. Частоты этой системы

связанны с характеристическими числами
пучка
при наложении связей
соотношениями
. Поэтому из теоремы 14 непосредственно следует:
.
Таким образом, при наложении
связей частоты системы могут только увеличиться, однако при этом величина новой
-й частоты
не может превзойти величины прежней
-й частоты
.
Точно так же на основании теоремы 15 можно утверждать, что при увеличении жесткости системы, т.е. при увеличении формы
для потенциальной энергии (без изменения формы
), частоты могут только увеличиться, а при увеличении инерции системы, т.е при увеличении формы
для кинетической энергии (без изменения формы
), частоты могут только уменьшиться.
Теоремы 16 и 17 вносят дополнительное уточнение в это положение.