§ 9. Эрмитовы формы

Все результаты §§ 1-7 этой главы, установленные для вещественных квадратичных форм, могут быть перенесены на эрмитовы формы. Напомним, что эрмитовой формой называется выражение:

(111)

Эрмитовой форме (111) соответствует следующая билинейная эрмитова форма:

(112)

при этом

(113)

и, в частности,

, (113’)

т. е. форма принимает только вещественные значения.

Матрица коэффициентов эрмитовой формы является эрмитовой, т. е. .

Пользуясь матрицей можно представить и, в частности, в виде произведения трех матриц - строчной, квадратной и столбцевой:

(114)

Если

, , (115)

где , - столбцевые матрицы, , - комплексные числа (, ), то

(116)

Подвергнем переменные линейному преобразованию

() (117)

или в матричной записи

(117')

После преобразования эрмитова форма примет вид

где матрица новых коэффициентов связана с матрицей старых коэффициентов формулой

(118)

В этом непосредственно убеждаемся после замены во второй формуле (114) на .

Если положить , то формулу (118) можно еще переписать так:

(119)

Из формулы (118) следует, что ранги матриц и равны, если преобразование (117) - неособенное . Ранг матрицы называется рангом формы .

Определитель называется дискриминантом эрмитовой формы . Из (118) следует формула преобразования дискриминанта при переходе к новым переменным:

Эрмитова форма называется сингулярной, если ее дискриминант равен нулю. Очевидно, сингулярная форма остается сингулярной при любом преобразовании переменных (117).

Эрмитову форму можно бесчисленным множеством способов представить в виде

, (120)

где () - вещественные числа, а

()

- независимые комплексные линейные формы от переменных .

Правую часть в (120) будем называть суммой независимых квадратов, а каждое слагаемое в этой сумме — положительным или отрицательным квадратом в зависимости от того, соответствующее или . Как и для квадратичных форм, число в (120) равно рангу формы .

Теорема 18 (закон инерции эрмитовых форм). При представлении эрмитовой формы в виде суммы независимых квадратов

чисел положительных и число отрицательных квадратов не зависят от способа представления.

Доказательство совершенно аналогично доказательству теоремы 1 (стр. 270).

Разность между числом положительных и числом отрицательных квадратов в (120) называется сигнатурой эрмитовой формы : .

Метод Лагранжа приведения квадратичных форм к сумме квадратов может быть использован и для эрмитовых форм, только при этом основные формулы (15) и (16) должны быть заменены формулами

(121)

(122)

Пусть теперь для эрмитовой формы ранга выполняются неравенства

(123)

Тогда совершенно так же, как и для квадратичной формы, получаем формулу Якоби в двух видах:

, , () (124)

где

, , (), (125)

, (126)

В соответствии с формулой Якоби (124) число отрицательных квадратов в представлении формы равно числу знакоперемен в ряду

(127)

и, следовательно, сигнатура эрмитовой формы определится формулой

(128)

Все замечания относительно особых случаев, которые могут здесь представиться, сделанные для квадратичных форм (§ 3), автоматически переносятся на эрмитовы формы.

Определение 5. Эрмитова форма называется неотрицательной (неположительной), если при любых значениях переменных

(соответственно ).

Определение 6. Эрмитова форма называется положительно определенной (отрицательно определенной), если при любых значениях переменных , не равных одновременно нулю

(соответственно ).

Теорема 19. Для того чтобы эрмитова форма была положительно определенной, необходимо и достаточно, чтобы имели место неравенства

(129)

Теорема 20. Для того чтобы эрмитова форма была была неотрицательной, необходимо и достаточно, чтобы все главные миноры матрицы были неотрицательны:

(, ) (130)

Доказательство теорем 19 и 20 совершенно аналогично доказательству теорем 3 и 4 для квадратичных форм.

Условия отрицательной определенности и неположительности эрмитовой формы получаются соответственно из условий (129) и (130), если последние применить к форме .

Из теоремы 5' главы IX следует теорема о приведении эрмитовой формы к главным осям:

Теорема 21. Эрмитова форма всегда может быть приведена при помощи унитарного преобразования переменных

(131)

к канонической форме

(132)

при этом - характеристические числа матрицы

Справедливость теоремы 21 вытекает из формулы

(133)

Пусть даны две эрмитовы формы и . Рассмотрим пучок эрмитовых форм ( - вещественный параметр). Этот пучок называется регулярным, если форма - положительно определенная. При помощи эрмитовых матриц и составим уравнение

Это уравнение называется характеристическим уравнением пучка эрмитовых форм. Корни этого уравнения называются характеристическими числами пучка.

Если - характеристическое число пучка, то существует столбец такой, что

Столбец мы будем называть главным столбцом или главным вектором пучка , соответствующим характеристическому числу .

Имеет место

Теорема 22. Характеристическое уравнение регулярного пучка эрмитовых форм имеет вещественных корней . Этим корням соответствуют главных векторов , удовлетворяющих условиям «ортонормированности»:

Доказательство совершенно аналогично доказательству теоремы 8.

Все экстремальные свойства характеристических чисел регулярного пучка квадратичных форм сохраняют свою силу и для эрмитовых форм.

Теоремы 10—17 сохраняют свою силу, если в этих теоремах термин «квадратичные формы» заменить везде термином «эрмитовы формы». Доказательства теорем остаются при этом неизменными.