§ 10. Ганкелевы формы

Пусть даны  чисел . При помощи этих чисел составим квадратичную форму от  переменных

                                       (134)

Квадратичная форма (134) называется ганкелевой. Соответствующая ей симметрическая матрица  также называется ганкелевой. Эта матрица имеет вид

.

Последовательные главные миноры матрицы  будем обозначать через :

  ().

В настоящем параграфе мы установим основные результаты Фробениуса относительно ранга и сигнатуры вещественных ганкелевых форм.

Предварительно докажем две леммы.

Лемма 1. Если в ганкелевой матрице  первые  строк линейно независимы, а первые  строк линейно зависимы, то

.

Доказательство. Обозначим через  первые  строк матрицы . По условию теоремы строки  линейно независимы, а строка  линейно выражается через эти строки:

или

 ()            (135)

Выпишем матрицу, состоящую из первых  строк матрицы :

.                             (136)

Эта матрица имеет ранг . С другой стороны, в силу (135) любой столбец этой матрицы выражается линейно через  предыдущих столбцов. Следовательно, любой столбец матрицы выражается линейно через  первых столбцов. Но тогда, поскольку ранг матрицы (136) равен , эти первые  столбцов матрицы (136) должны быть линейно независимы, т. е.

.

Лемма доказана.

Лемма 2. Если для матрицы  при некотором  

,                                 (137)

и

  ()    (138)

то матрица  также ганкелева и все ее элементы, расположенные над второй диагональю, равны нулю, т. е. существуют такие , что

(; ).

Доказательство. Введем в рассмотрение матрицы

 ().

В этих обозначениях .

Мы докажем, что любая из матриц  () является ганкелевой и что в ней  при . Доказательство будем вести индуктивно относительно .

Для матрицы  наше утверждение тривиально, для матрицы  оно очевидно, так как

,  (в силу симметрии ) и .

Допустим, что наше утверждение справедливо для матрицы  и докажем его справедливость для матрицы . Из допущения следует существование таких чисел , что при

При этом

                                                          (139)

С другой стороны, пользуясь детерминантным тождеством Сильвестра, найдем:

                                                  (140)

Из сопоставления (139) с (140) получаем:

Далее из (138):

                          (142)

На основании предыдущей леммы из (137) следует, что -я строка матрицы  линейно зависит от первых  строк:

  ().          (143)

Пусть . При этом одно из чисел  и  меньше . Не нарушая общности рассуждений, примем, что . Тогда, разлагая с помощью (143) последний столбец в определителе, стоящем в правой части равенства (142), и снова используя соотношения (142), будем иметь

  (144)

Но в силу допущения индукции имеет место (141), и поскольку в (144) ,  и , то . Следовательно, при  все , а при  величина  в силу (144) зависит только от .

Таким образом,  - ганкелева матрица и в этой матрице все элементы , стоящие над второй диагональю, равны нулю.

Лемма доказана.

Пользуясь леммой 2, докажем следующую теорему:

Теорема 23. Если ганкелева матраца  имеет ранг  и при некотором

,

то главный минор -го порядка, образованный первыми  и последними  линиями матрицы , не равен нулю:

Доказательство. На основании предыдущей леммы матрица

есть ганкелева матрица, в которой все элементы над второй диагональю равны нулю. Поэтому

С другой стороны . Следовательно, , и матрица  имеет вид

Матрица  должна иметь ранг . Поэтому при  в матрице  элементы  и матрица  всегда имеет вид

 

Но тогда в силу тождества Сильвестра

что и требовалось доказать.

Рассмотрим вещественную ганкелеву форму

ранга . Обозначим через , ,  соответственно число положительных квадратов, число отрицательных квадратов и сигнатуру этой формы:

,

.

Согласно теореме Якоби эти величины могут быть определены из рассмотрения знаков последовательных миноров

,                                  (145)

при помощи формул

     (146)

Эти формулы становятся неприменимыми в случае, когда последний член в ряду (145) либо три подряд идущих промежуточных члена равны нулю (см. § 3). Однако для ганкелевой формы, как показал Фробениус, можно дать правило, позволяющее использовать формулы (146) в самом общем случае:

Теорема 24 (Фробениуса). Для вещественной ганкелевой формы

ранга  величины , ,  могут быть определены из формул (146), если

1)      при

,                     (147)

заменить в этих формулах  на , где

2)      в любой группе из  промежуточных нулевых определителей

     (148)

нулевым определителям приписать знаки по формуле

                              (149)

При этом величины , , , соответствующие группе (148), получат значения

   (150)

Доказательство. Рассмотрим сначала случай, когда . В этом случае формы

 и

имеют не только один и тот же ранг , но и одну и ту же сигнатуру . Действительно, пусть

где  - вещественные линейные формы, а  . Положим . Тогда формы ,  перейдут соответственно в , , причем , т.е  имеет такое же число положительных (отрицательных) независимых квадратов, как и форма . Таким образом,  есть сигнатура формы .

Проварьируем непрерывно параметры  так, чтобы при новых значениях параметров  все члены ряда

 (; )

были отличны от нуля и чтобы в процессе варьирования ни один из отличных от нуля определителей (145) не обратился в нуль.

Так как при варьировании не изменялся ранг формы , то не изменялась и ее сигнатура. Поэтому

                  (151)

Если при некотором  , то

Поэтому весь вопрос сводится к определению перемен знака между теми , которым соответствуют . Точнее, для каждой группы вида (148) требуется определить

.

Для этого положим

 

Согласно лемме 2 матрица

ганкелева и все элементы ее, стоящие над второй диагональю, равны нулю, т. е. матрица  имеет вид

                                 (152)

Обозначим последовательные миноры матрицы  через :

 

Наряду с матрицей  введем в рассмотрение матрицу

где

 

и соответственные определители

 ()

Согласно детерминантному тождеству Сильвестра

  ()

Поэтому

   (153)

где  - сигнатура формы.

Наряду с формой  рассмотрим формы

 и

Матрица  получается из матрицы  [см. (152)], если в последней заменить нулями все элементы, стоящие под второй диагональю. Сигнатуры форм  и  обозначим соответственно через  и .

Так как формы  и  получаются из формы  таким варьированием коэффициентов, в процессе которого ранг формы не меняется (, ), то и сигнатуры форм , и  должны быть одинаковы:

                    (154)

Но

Так как каждое произведение вида  при  можно заменить разностью квадратов  и таким образом получить разложение  независимые вещественные квадраты, то

                          (155)

С другой стороны, из (152):

                             (156)

Из (153), (154), (155) и (156) следует:

   (157)

где

Так как

    (158)

то из (157) и (158) вытекает таблица (150).

Пусть теперь . Тогда при некотором

,

В этом случае согласно теореме 23

Рассматриваемый случай сводится к предыдущему перенумерацией переменных в квадратичной форме . Полагаем:

,     (159)

При этом .

Исходя из структуры матрицы  и пользуясь полученными из детерминантного тождества Сильвестра соотношениями

,  ,

найдем, что ряд  получается из ряда  заменой одного элемента  на .

Таким образом, показано, что во всех случаях можно пользоваться таблицей (150).

Заметим, что при  нечетном [- число нулевых определителей в группе (148)] из формулы (156) следует:

                                        (160)

Пользуясь этим равенством, читатель легко проверит, что таблице (150) соответствует то приписывание знаков нулевым определителям, которое дается формулой (149).

Теорема доказана полностью.

Примечание. При  из формулы (160) следует: . Поэтому имеет место правило Гундельфингера, т. е. при подсчете  можно  опустить. При  из таблицы (150) вытекает правило Фробениуса.