ЧАСТЬ ВТОРАЯ. СПЕЦИАЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ И ПРИЛОЖЕНИЯ

Глава XI. Комплексные симметричные, кососимметрические и ортогональные матрицы

В главе IX в связи с изучением линейных операторов в евклидовом пространстве были исследованы вещественные симметрические, кососимметрические и ортогональные матрицы, т. е. вещественные квадратные матрицы, характеризуемые соответственно соотношениями

, ,

(здесь ' означает переход к транспонированной матрице). Было выяснено, что в поле комплексных чисел все эти матрицы имеют линейные элементарные делители, и были установлены нормальные формы для этих матриц, т. е. «простейшие» вещественные симметрические, кососимметрические и ортогональные матрицы, которым вещественно- и ортогонально-подобны произвольные матрицы рассматриваемых типов.

Настоящая глава посвящена исследованию комплексных симметрических, кососимметрических и ортогональных матриц. Выясняется, какие элементарные делители могут иметь эти матрицы, и устанавливаются для них нормальные формы. Эти формы имеют значительно более сложную структуру, нежели соответствующие нормальные формы в вещественном случае. Предварительно в первом параграфе устанавливаются интересные связи между комплексными ортогональными, унитарными и вещественными симметрическими, кососимметрическими и ортогональными матрицами.