§ 2. Полярное разложение комплексной матрицы

Докажем следующую теорему:

Теорема 3. Если  неособенная матрица с комплексными элементами, то

                                                                (27)

и

                                                             (28)

где  и  — комплексные симметрические, а  и  - комплексные ортогональные матрицы. При этом

,

где ,  - некоторые многочлены относительно .

Как в разложении (27), так и в разложении (28) сомножители  и  (соответственно  и ) перестановочны между собой в том и только в тот случае, когда матрицы  и  перестановочны между собой.

Доказательство. Достаточно установить разложение (27), так как, применив это разложение к матрице  и определив из полученной формулы матрицу , мы придем к разложению (28).

Если имеет место формула (27), то

,

и потому

                                                              (29)

Обратно, поскольку  - неособенная матрица (), то функция  определена на спектре этой матрицы, и, следовательно, существует такой интерполяционный многочлен , что

                                                (30)

Симметрическую матрицу (30) обозначим через

.

Тогда имеет место (29) и, следовательно, . Определяя матрицу  из равенства (27)

,

легко проверяем, что эта матрица является ортогональной. Таким образом разложение (27) установлено.

Если в разложении (27) множители  и  перестановочны между собой, то перестановочны и матрицы

 и ,

так как

, .

Обратно, если , то

,

т. е. матрица  перестановочна с . Но тогда матрица  перестановочна и с матрицей .

Таким образом теорема доказана полностью. Пользуясь полярным разложением, докажем теорему:

Теорема 4. Если две комплексные симметрические, либо кососимметрические, либо ортогональные матрицы подобны

,                                                         (31)

то эти матрицы ортогонально-подобны, т. е. существует такая ортогональная матрица , что

                                                         (32)

Доказательство. Из условия теоремы следует существование такого многочлена , что

,                                           (33)

Этот многочлен  в случае симметрических матриц тождественно равен , а в случае кососимметрических матриц тождественно равен . Если же  и  — ортогональные матрицы, то  — интерполяционный многочлен для  на общем спектре матриц  и .

Пользуясь равенствами (33), мы проведем доказательство данной теоремы совершенно аналогично доказательству соответствующей теоремы 10 главы IX для вещественного случая. Из (31) следует

или в силу (33)

.

Отсюда

.

Сопоставляя это равенство с (31), легко находим:

                                                      (34)

Применим к неособенной матрице  полярное разложение

  (, ).

Поскольку согласно (34) матрица  перестановочна с , то и матрица  также перестановочна с . Поэтому, подставляя в (31) вместо  произведение , будем иметь:

.

Теорема доказана.