§ 3. Нормальная форма комплексной симметрической матрицы

Докажем следующую теорему.

Теорема 5. Существует комплексная симметрическая матрица с любыми наперед заданными элементарными делителями.

Доказательство. Рассмотрим матрицу  -го порядка, у которой элементы первой наддиагонали равны единице, а все остальные элементы равны нулю. Докажем, что существует симметрическая матрица   подобная матрице :

.                                                          (35)

Преобразующую матрицу  будем искать, исходя из условия:

.

Это условие можно переписать так:

,                                                     (36)

где  - симметрическая матрица, связанная с  равенством

.                                                    (37)

Вспоминая свойства матриц  и , мы найдем, что любое решение  матричного уравнения (36) имеет следующий вид:

                          (38)

где  - произвольные комплексные числа.

Поскольку нам достаточно отыскать одну преобразующую матрицу , то мы в этой формуле положим ,  и определим матрицу  равенством:

                                                             (39)

Кроме того, преобразующую матрицу  будем искать в виде симметрической матрицы:

                                                                  (40)

Тогда уравнение (37) для  перепишется так

                                                           (41)

Теперь неизвестную матрицу  будем искать в виде многочлена от . Поскольку , в качестве такого многочлена можно взять многочлен первой степени: . Из уравнения (41), учитывая равенство , найдем: , . Этим соотношениям мы удовлетворим, полагая , . Тогда

                                                           (42)

  - неособенная симметрическая матрица. В то же время из (41): , т.е.

                                                 (43)

Таким образом, симметрическая форма  матрицы  определится равенством

,       (44)

Поскольку матрица  удовлетворяет уравнению (36) и , то равенство (44) может быть переписано еще так:

             (45)

Формула (45) определяет симметрическую форму  матрицы .

В дальнейшем, если  - порядок матрицы , , то соответствующие матрицы ,  и  будем еще обозначать и так: ,  и . Пусть даны произвольные элементарные делители:

,                    (46)

Составим соответствующую жорданову матрицу

.

Для каждой матрицы  введем соответствующую симметрическую форму . Из

, ()

следует:

.

Поэтому, полагая

      (47)

,                                  (48)

будем иметь

.

  — симметрическая форма жордановой матрицы . Матрица  подобна матрице  и имеет те же элементарные делители (46), что и матрица . Теорема доказана.

Следствие 1. Произвольная квадратная комплексная матрица  подобна симметрической матрице. Привлекая теорему 4, получим:

Следствие 2. Произвольная комплексная симметрическая матрица  ортогонально-подобна симметрической матрице, имеющей нормальную форму , т. е. существует такая ортогональная матрица , что

                                                          (49)

Нормальная форма комплексной симметрической матрицы имеет квазидиагональный вид

      (50)

где клетки  определяются так [см. (44), (45)]:

     (51)