§ 4. Нормальная форма комплексной кососимметрической матрицы

Выясним, какие ограничения на элементарные делители накладывает косая симметрия матрицы. При этом мы будем опираться на следующую теорему:

Теорема 6. Кососимметрическая матрица всегда имеет четный ранг.

Доказательство. Пусть кососимметрическая матрица имеет ранг . Тогда среди строк матрицы имеется линейно независимых с номерами все остальные строки являются линейными комбинациями этих строк. Поскольку столбцы матрицы получаются из соответствующих строк, если элементы последних помножить на -1, то и любой столбец матрицы есть линейная комбинация столбцов с номерами . Поэтому произвольный минор -го порядка матрицы может быть представлен в виде

где - число.

Отсюда вытекает, что

Но кососимметрический определитель нечетного порядка всегда равен нулю. Следовательно, - четное число. Теорема доказана.

Теорема 7. 1° Если - характеристическое число кососимметрической матрицы и ему соответствуют элементарные делители

то также является характеристическим числом матрицы и этому числу соответствуют элементарные делители матрицы в том же числе и тех же степеней

2°. Если число нуль является характеристическим числом кососимметрической матрицы то в системе элементарных делителей матрицы все элементарные делители четной степени, соответствующие характеристическому числу нуль, повторяются четное число раз.

Доказательство. 1° Транспонированная матрица имеет те же элементарные делители, что и матрица . Но , а элементарные делители матрицы получаются из элементарных делителей матрицы , если в последних все характеристические числа заменить на . Отсюда следует первая часть нашей теоремы.

2° Пусть характеристическому числу нуль матрицы отвечает элементарных делителей вида , — вида и т. д. Вообще мы через обозначим число элементарных делителей вида . Мы докажем, что - четные числа.

Дефект матрицы равен числу линейно независимых собственных векторов, соответствующих характеристическому числу пуль или, что то же, числу элементарных делителей вида . Поэтому

(52)

Поскольку согласно теореме 6 ранг матрицы - четное число, , то число имеет ту же четность, что и число . Такое же утверждение можно сделать относительно дефектов матриц , поскольку нечетные степени кососимметрической матрицы снова являются кососимметрическими матрицами. Поэтому все числа имеют одну и ту же четность.

С другой стороны, при возведении матрицы в степень каждый элементарный делитель этой матрицы при расщепляется на элементарных делителей (первой степени), а при - на элементарных делителей. Поэтому число элементарных делителей матриц , являющихся степенями , определится по формулам.

(53)

Сопоставляя (52) с (53) и помня, что все числа имеют одну и ту же четность, легко заключаем, что - четные числа.

Теорема доказана полностью.

Теорема 8. Существует кососимметрическая матрица с любыми наперед заданными элементарными делителями, удовлетворяющими ограничениям 1°, 2° предыдущей теоремы.

Доказательство. Найдем сначала кососимметрическую форму для квазидиагональной матрицы порядка :

(54)

имеющей два элементарных делителя и ; здесь , .

Будем искать такую преобразующую матрицу , чтобы матрица

была кососимметрической, т. е. чтобы имело место равенство

или

(55)

где — симметрическая матрица, связанная с матрицей равенством

(56)

Разобьем матрицу на четыре квадратных блока, каждый порядка :

Тогда (55) можно переписать так

(57)

Выполняя указанные действия над блочными матрицами в левой части матричного уравнения (57), мы заменим это уравнение системой четырех матричных уравнений:

(58)

Уравнение , где и - квадратные матрицы без общих характеристических чисел, имеет только нулевое решение . Поэтому первое и четвертое уравнения (58) дают: . Что же касается второго из этих уравнений, то, как мы видели при доказательстве теоремы 5, этому уравнению можно удовлетворить, полагая

, (59)

поскольку (см. (36).

Из симметрии матрицы следует, что

Тогда автоматически удовлетворяется и уравнение 3).

Таким образом

(60)

Но тогда, как уже было выяснено на стр. 320, уравнение (56) удовлетворится, если положить:

(61)

При этом

(62)

Следовательно, искомая кососимметрическая матрица найдется по формуле

(63)

Подставляя вместо и соответствующие блочные матрицы из (54) и (60), найдем:

(64)

т.е.

(65)

Построим теперь кососимметрическую матрицу -го порядка , имеющую один элементарный делитель , где - нечетное число. Очевидно, что искомая кососимметрическая матрица будет подобна матрице

(66)

В этой матрице все элементы вне первой наддиагонали равны нулю, а вдоль первой наддиагонали сначала идут единиц, а затем элементов, равных . Полагая

(67)

из условия косой симметрии найдем

(68)

где

(69)

Непосредственной проверкой убеждаемся в том, что матрица

удовлетворяет уравнению (68). Принимая это значение для , мы из (69), как и ранее, находим

, (70)

(71)

Произведя соответствующие вычисления, найдем

(72)

Пусть даны произвольные элементарные делители, удовлетворяющие условиям теоремы 7:

(73)

Тогда квазидиагональная кососимметрическая матрица

(74)

или элементарные делители (73). Теорема доказана.

Следствие. IIроизвольная комплексная кососимметрическая матрица ортогонально-подобна кососимметрической матрице, имеющей нормальную форму , определяемую формулами (74), (65), (72), т. е. существует такая (комплексная) ортогональная матрица , что

(75)

Замечание. Если - вещественная кососимметрическая матрица, то она имеет линейные элементарные делители

В этом случае, полагая в (74) все и все , получим нормальную форму вещественной кососимметрической матрицы