§ 5. Нормальная форма комплексной ортогональной матрицы

Начнем с выяснения, какие ограничения на элементарные делители накладывает ортогональность матрицы.

Теорема 9. 1. Если  - характеристическое число ортогональной матрицы  и этому характеристическому числу соответствуют элементарные делители

то  также является характеристическом числом матрицы  и этому характеристическому числу соответствуют такие же элементарные делители, как и числу :

2. Если  является характеристическим числом ортогональной матрицы , то элементарные делители четной степени, соответствующие этому характеристическому числу , повторяются четное число раз.

Доказательство. 1. Для любой неособенной матрицы  при переходе от  к  каждый элементарный делитель  заменяется элементарным делителем . С другой стороны, матрицы  и  всегда имеют одни и те же элементарные делители. Поэтому из условия ортогональности  сразу следует первая часть нашей теоремы.

2. Допустим, что число 1 является характеристическим числом матрицы , а число -1 не является таковым (, ). Тогда воспользуемся формулами Кэли (см. гл. IX, § 14), которые сохраняют свою силу и для комплексных матриц. Определим матрицу  равенством

                                         (76)

Непосредственной проверкой убеждаемся в том, что , т. е. что  - кососимметрическая матрица. Разрешая уравнение (76) относительно , находим:

Полагая , имеем . Следовательно, при переходе от матрицы  к матрице  элементарные делители не расщепляются. Поэтому в системе элементарных делителей матрицы  элементарные делители вида  повторяются четное число раз, поскольку это имеет место для элементарных делителей вида   матрицы  (см. теорему 7).

Случай, когда ортогональная матрица  имеет характеристическое число -1, но не имеет характеристического числа +1, сразу сводится к разобранному случаю путем рассмотрения ортогональной матрицы .

Переходим к наиболее сложному случаю, когда матрица  одновременно имеет характеристическое число +1 и характеристическое число -1. Обозначим через  минимальный многочлен матрицы . Используя доказанную первую часть теоремы, мы сможем записать  в виде

 (, ).

Рассмотрим многочлен  степени  [ - степень ], у которого , а все остальные  значений на спектре матрицы  равны нулю, и положим:

                                                            (77)

Заметим, что функции  и  принимают те же значения на спектре матрицы , что и функция . Поэтому

,                     (78)

т. е.  - симметрическая проекционная матрица.

Определим многочлен  и матрицу  равенствами

                                            (79)

                                         (80)

Поскольку степень  обращается в нуль на спектре матрицы , эта степень делится на  без остатка. Отсюда следует:

,

т. е.  - нильпотентная матрица с индексом нильпотентности .

Из (80) находим:

                                                    (81)

Рассмотрим матрицу

                                                   (82)

Из (78), (80) и (81) следует:

Из этого представления матрицы  видно, что - кососимметрическая матрица.

С другой стороны, из (82)

   ()                        (83)

Но , как и , — нильпотентная матрица и, следовательно,

.

Поэтому из (83) вытекает, что при любом  матрицы  и  имеют один и тот же ранг.

Но при  нечетном матрица  является кососимметрической и потому (см. стр. 322) имеет четный ранг. Следовательно, каждая из матриц

имеет четный ранг.

Поэтому, повторяя дословно для матрицы  рассуждения, проведенные на стр. 322 — 323 для матрицы , мы сможем утверждать, что среди элементарных делителей матрицы  делители вида  повторяются четное число раз. Но каждому элементарному делителю  матрицы  соответствует элементарный делитель  матрицы  и наоборот. Отсюда следует, что среди элементарных делителей матрицы  делители вида  повторяются четное число раз.

Аналогичное утверждение для элементарных делителей вида  мы получим, применяя доказанное уже положение к матрице .

Таким образом, теорема доказана полностью.

Докажем теперь обратную теорему

Теорема 10. Любая система степеней вида

  (84)

является системой элементарных делителей некоторой комплексной ортогональной матрицы .

Доказательство. Обозначим через  числа, связанные с числами  равенствами

 .

Введем в рассмотрение «канонические» кососимметрические матрицы (см. предыдущий параграф)

имеющие соответственно элементарные делители

если  - кососимметрическая матрица, то

является ортогональной (). При этом каждому элементарному делителю  матрицы  отвечает элементарный делитель  матрицы .

Поэтому квазидиагональная матрица

         (85)

является ортогональной и имеет элементарные делители (84).

Теорема доказана.

Из теорем 4, 9 и 10 вытекает

Следствие. Произвольная (комплексная) ортогональная матрица  всегда ортогонально-подобна ортогональной матрице, имеющей нормальную форму , т. е. существует такая ортогональная матрица  что

                                             (86)

Примечание. Подобно тому как это было сделано для кососимметрической матрицы , можно конкретизировать форму диагональных клеток в нормальной форме .