ГЛАВА XII. СИНГУЛЯРНЫЕ ПУЧКИ МАТРИЦ
§ 1. Введение
1.Настоящая глава посвящена следующей задаче:
Даны четыре матрицы
,
;
,
одинаковых размеров
с элементами из числового поля
. Требуется найти, при каких условиях существуют две квадратные неособенные матрицы
и
соответственно порядков
и
такие, что одновременно
,
(1)
Вводя в рассмотрение пучки матриц
и
, два матричных равенства (1) можно заменить одним равенством
(2)
Определение 1. Два пучка прямоугольных матриц
и
одних и тех же размеров
, связанные равенством (2), в котором
и
— постоянные (т. е. не зависящие от
) квадратные неособенные матрицы соответственно порядков
и
, мы будем называть строго эквивалентными.
Согласно общему определению эквивалентности
-матриц (см. гл. VI, стр. 138) пучки
и
являются эквивалентными, если имеет место равенство вида (2), в котором
и
— две квадратные
-матрицы с постоянными и отличными от нуля определителями. При строгой же эквивалентности требуется дополнительно, чтобы матрицы
и
не зависели от
.
Критерий эквивалентности пучков
и
следует из общего критерия эквивалентности
-матриц и состоит в совпадении инвариантных многочленов или, что то же, элементарных делителей пучков
и
(см. гл. VI, стр. 144).
В настоящей главе будет установлен критерий строгой эквивалентности двух пучков матриц и для каждого пучка будет определена строго эквивалентная ему каноническая форма
2. Поставленная задача допускает естественную геометрическую интерпретацию. Рассмотрим пучок линейных операторов
, отображающих
в
. При определенном выборе базисов в этих пространствах пучку операторов
отвечает пучок прямоугольных матриц
(размером
); при изменении базисов в
и
пучок
заменяется строго эквивалентным пучком
, где
и
— квадратные неособенные матрицы порядков
и
(см. гл. III, §§ 2 и 4). Таким образом, критерий строгой эквивалентности дает характеристику того класса пучков матриц
(размером
), которые описывают один и тот же пучок операторов
, отображающих
в
, при различных выборах базисов в этих пространствах.
Для получения канонической формы пучка нужно найти те базисы в
и
, в которых пучок операторов
описывается возможно более простой матрицей.
Поскольку пучок операторов задается двумя операторами
и
, то можно еще сказать, что настоящая глава посвящена одновременному изучению двух операторов
и
, отображающих
в
.
3. Все пучки матриц
размером
подразделяются на два основных типа: на регулярные и сингулярные пучки.
Определение 2. Пучок матриц
называется регулярным, если 1)
и
— квадратные матрицы одного и того же порядка
и 2) определитель
не равен тождественно нулю. Во всех остальных случаях (
или
, но
) пучок называется сингулярным.
Критерий строгой эквивалентности, а также каноническая форма для регулярных пучков матриц были установлены Вейерштрассом в 1867 г. [150] на основе его теории элементарных делителей, изложенной нами в главах VI и VII. Аналогичные вопросы для сингулярных пучков получили свое разрешение позже, в 1890 г., в исследованиях Л. Кронекера [133]. Результаты Кронекера и составляют основное содержание этой главы.