§ 2. Регулярный пучок матриц

1. Рассмотрим частный случай, когда пучки  и  состоят из квадратных матриц () и , . В этом случае, как было доказано в главе VI (стр. 140), два понятия «эквивалентность» и «строгая эквивалентность» пучков совпадают. Поэтому, применяя к пучкам общий критерий эквивалентности -матриц (стр. 148), приходим к теореме:

Теорема 1. Два пучка квадратных матриц одного и того же порядка  и , у которых  и , являются строго эквивалентными в том и только в том случае, когда эти пучки имеют одни и те же элементарные делители в поле .

Пучок квадратных матриц  с  в главе VI называется регулярным, поскольку он представляет собой частный случай регулярного матричного многочлена относительно   (см. гл. IV, стр. 87). В предыдущем параграфе настоящей главы мы дали более широкое определение регулярного пучка. Согласно этому определению в регулярном пучке возможно равенство  (и даже ).

Для того чтобы выяснить, сохранится ли теорема 1 для регулярных пучков (при расширенном определении 1), рассмотрим следующий пример:

,         (3)

Нетрудно видеть, что здесь каждый из пучков  и  имеет только один элементарный делитель . В то же время эти пучки не являются строго эквивалентными, так как матрицы  и  имеют соответственно ранги 2 и 1, а из равенства (2), если бы оно имело место, следовало бы, что ранги матриц  и  равны между собой. При этом пучки (3) являются регулярными согласно определению 1, так как

.

Разобранный пример показывает, что теорема 1 неверна при расширенном определении регулярного пучка.

2. Для того чтобы сохранить теорему 1, нам придется ввести понятие о «бесконечных» элементарных делителях пучка. Будем пучок  задавать при помощи «однородных» параметров . Тогда определитель  будет однородной функцией от . Определяя наибольший общий делитель  всех миноров -го порядка матрицы  , получим инвариантные многочлены по известным формулам

;

при этом все  и  - однородные относительно  и  многочлены. Разлагая инвариантные многочлены на степени неприводимых в поле  однородных многочленов, получим элементарные делители   пучка  в поле .

Совершенно очевидно, что, полагая  в , мы вернемся к элементарным делителям  пучка . Обратно, из каждого элементарного делителя  степени  пучка  мы получим соответствующий элементарный делитель  по формуле . Таким способом могут быть получены все элементарные делители пучка  за исключением элементарных делителей вида .

Элементарные делители вида  существуют в том и только в том случае, когда , и носят название «бесконечных» элементарных делителей для пучка .

Поскольку из строгой эквивалентности пучков  и  следует строгая эквивалентность пучков  и  то у строго эквивалентных пучков  и  должны совпадать не только «конечные», но и «бесконечные» элементарные делители.

Пусть теперь даны два регулярных пучка  и , у которых соответственно совпадают все (в том числе и бесконечные) элементарные делители. Введем однородные параметры: , . Преобразуем параметры:

 

В новых параметрах пучки запишутся так: ,  где , . Из регулярности пучков  и  вытекает, что можно подобрать числа  и  так, чтобы  и .

Поэтому согласно теореме 1 пучки  и , а следовательно, и исходные пучки  и  (или, что то же  и ) строго эквивалентны. Таким образом, мы пришли к следующему обобщению теоремы 1.

Теорема 2. Для того чтобы два регулярных пучка  и  были строго эквивалентны, необходимо и достаточно, чтобы эти пучки имели одни и те же («конечные» и «бесконечные») элементарные делители.

В разобранном ранее примере пучки (3) имели один и тот же «конечный» элементарный делитель , но отличались «бесконечными» элементарными делителями (первый пучок имеет один «бесконечный» элементарный делитель , а второй - два: ,). Поэтому эти пучки и не оказались строго эквивалентными.

3. Пусть теперь дан произвольный регулярный пучок . Тогда существует такое число , что . Данный пучок представим в виде , где  и потому . Умножим пучок слева на . Преобразованием подобия приводим этот пучок к виду

      (4)

где  - квазидиагональная нормальная форма матрицы ,  - жорданова нильпотентная матрица, а .

Первый диагональный блок правой части (4) умножим на . Получим: . Здесь коэффициент при  - нильпотентная матрица. Поэтому преобразованием подобия этот пучок можно привести к виду

                       (5)

Второй диагональный блок в правой части (4) умножением на , а затем преобразованием подобия может быть приведен к виду , где  - матрица, имеющая нормальную форму, а  - единичная матрица. Мы пришли к теореме

Теорема 3. Произвольный регулярный пучок  может быть приведен к (строго эквивалентному) каноническому квазидиагональному виду

                            (6)

где первые  диагональных блоков соответствуют бесконечным элементарным делителям  пучка , а нормальная форма последнего диагонального блока  однозначно определяется конечными элементарными делителями данного пучка.