§ 2. Регулярный пучок матриц
1. Рассмотрим частный случай, когда пучки
и
состоят из квадратных матриц (
) и
,
. В этом случае, как было доказано в главе VI (стр. 140), два понятия «эквивалентность» и «строгая эквивалентность» пучков совпадают. Поэтому, применяя к пучкам общий критерий эквивалентности
-матриц (стр. 148), приходим к теореме:
Теорема 1. Два пучка квадратных матриц одного и того же порядка
и
, у которых
и
, являются строго эквивалентными в том и только в том случае, когда эти пучки имеют одни и те же элементарные делители в поле
.
Пучок квадратных матриц
с
в главе VI называется регулярным, поскольку он представляет собой частный случай регулярного матричного многочлена относительно
(см. гл. IV, стр. 87). В предыдущем параграфе настоящей главы мы дали более широкое определение регулярного пучка. Согласно этому определению в регулярном пучке возможно равенство
(и даже
).
Для того чтобы выяснить, сохранится ли теорема 1 для регулярных пучков (при расширенном определении 1), рассмотрим следующий пример:
,
(3)
Нетрудно видеть, что здесь каждый из пучков
и
имеет только один элементарный делитель
. В то же время эти пучки не являются строго эквивалентными, так как матрицы
и
имеют соответственно ранги 2 и 1, а из равенства (2), если бы оно имело место, следовало бы, что ранги матриц
и
равны между собой. При этом пучки (3) являются регулярными согласно определению 1, так как
.
Разобранный пример показывает, что теорема 1 неверна при расширенном определении регулярного пучка.
2. Для того чтобы сохранить теорему 1, нам придется ввести понятие о «бесконечных» элементарных делителях пучка. Будем пучок
задавать при помощи «однородных» параметров
. Тогда определитель
будет однородной функцией от
. Определяя наибольший общий делитель
всех миноров
-го порядка матрицы
, получим инвариантные многочлены по известным формулам
;
при этом все
и
- однородные относительно
и
многочлены. Разлагая инвариантные многочлены на степени неприводимых в поле
однородных многочленов, получим элементарные делители
пучка
в поле
.
Совершенно очевидно, что, полагая
в
, мы вернемся к элементарным делителям
пучка
. Обратно, из каждого элементарного делителя
степени
пучка
мы получим соответствующий элементарный делитель
по формуле
. Таким способом могут быть получены все элементарные делители пучка
за исключением элементарных делителей вида
.
Элементарные делители вида
существуют в том и только в том случае, когда
, и носят название «бесконечных» элементарных делителей для пучка
.
Поскольку из строгой эквивалентности пучков
и
следует строгая эквивалентность пучков
и
то у строго эквивалентных пучков
и
должны совпадать не только «конечные», но и «бесконечные» элементарные делители.
Пусть теперь даны два регулярных пучка
и
, у которых соответственно совпадают все (в том числе и бесконечные) элементарные делители. Введем однородные параметры:
,
. Преобразуем параметры:

В новых параметрах пучки запишутся так:
,
где
,
. Из регулярности пучков
и
вытекает, что можно подобрать числа
и
так, чтобы
и
.
Поэтому согласно теореме 1 пучки
и
, а следовательно, и исходные пучки
и
(или, что то же
и
) строго эквивалентны. Таким образом, мы пришли к следующему обобщению теоремы 1.
Теорема 2. Для того чтобы два регулярных пучка
и
были строго эквивалентны, необходимо и достаточно, чтобы эти пучки имели одни и те же («конечные» и «бесконечные») элементарные делители.
В разобранном ранее примере пучки (3) имели один и тот же «конечный» элементарный делитель
, но отличались «бесконечными» элементарными делителями (первый пучок имеет один «бесконечный» элементарный делитель
, а второй - два:
,
). Поэтому эти пучки и не оказались строго эквивалентными.
3. Пусть теперь дан произвольный регулярный пучок
. Тогда существует такое число
, что
. Данный пучок представим в виде
, где
и потому
. Умножим пучок слева на
. Преобразованием подобия приводим этот пучок к виду
(4)
где
- квазидиагональная нормальная форма матрицы
,
- жорданова нильпотентная матрица, а
.
Первый диагональный блок правой части (4) умножим на
. Получим:
. Здесь коэффициент при
- нильпотентная матрица. Поэтому преобразованием подобия этот пучок можно привести к виду
(5)
Второй диагональный блок в правой части (4) умножением на
, а затем преобразованием подобия может быть приведен к виду
, где
- матрица, имеющая нормальную форму, а
- единичная матрица. Мы пришли к теореме
Теорема 3. Произвольный регулярный пучок
может быть приведен к (строго эквивалентному) каноническому квазидиагональному виду
(6)
где первые
диагональных блоков соответствуют бесконечным элементарным делителям
пучка
, а нормальная форма последнего диагонального блока
однозначно определяется конечными элементарными делителями данного пучка.