§ 3. Сингулярные пучки. Теорема о приведении

Переходим к рассмотрению сингулярного пучка матриц  с размерами . Обозначим через  ранг пучка, т. е. наибольший из порядков миноров, не равных тождественно нулю. Из сингулярности пучка следует, что всегда имеет место по крайней мере одно из неравенств  или . Пусть . Тогда столбцы -матрицы  линейно зависимы, т. е. уравнение

                                                     (7)

где  - искомый столбец, имеет ненулевое решение. Каждое ненулевое решение этого уравнения определяет некоторую линейную зависимость между столбцами -матрицы . Мы ограничимся только теми решениями  уравнения (7), которые являются многочленами относительно , и среди этих решений возьмем решение наименьшей степени

     (8)

Подставляя это решение в (7) и приравнивая нулю коэффициенты при степенях , получим:

    (9)

Рассматривая эту систему равенств как систему линейных однородных уравнений относительно элементов столбцов , заключаем, что матрица коэффициентов этой системы

                 (10)

имеет ранг. В то же время в силу минимального свойства числа  для рангов  матриц

    (10’)

имеют место равенства .

Таким образом, число  есть наименьшее значение индекса , при котором в соотношении  имеет мести знак <.

Теперь мы сформулируем и докажем следующую фундаментальную теорему:

Теорема 4: Если уравнение (7) имеет решение минимальной степени  и , то данный пучок  строго эквивалентен пучку вида

                                                     (11)

где

                         (12)

а  - пучок матриц, для которого уравнение, аналогичное (7), имеет решений степени .

Доказательство теоремы разобьем на три этапа. Сначала докажем, что данный пучок  строго эквивалентен пучку вида

                                                    (13)

где , , ,  - постоянные прямоугольные матрицы соответственных размеров. Затем установим, что уравнение  не имеет решений  степени . После этого мы покажем, что дальнейшими преобразованиями пучок (13) может быть приведен к квазидиагональному виду (11).

1. Первую часть доказательства облечем в геометрическую форму. Вместо пучка матриц  рассмотрим пучок операторов  отображающих  в , и покажем, что при надлежащем выборе базисов в этих пространствах матрица, соответствующая оператору , будет иметь форму (13).

Вместо, уравнения (7) возьмем векторное уравнение

                                                     (14)

с векторным решением

      (15)

равенства (9) заменятся векторными равенствами

    (16)

Ниже мы докажем, что векторы

                                                 (17)

линейно независимы. Отсюда легко будет следовать линейная независимость векторов

                                                          (18)

Действительно, поскольку, из  находим: , откуда в силу линейной независимости векторов (17) . Но , поскольку в противном случае  было бы решением уравнения (14) степени , что невозможно. Поэтому и .

Если теперь принять векторы (17) и (18) в качестве первых базисных векторов для новых базисов соответственно в  и , то в новых базисах операторам  и  в силу (16) будут соответствовать матрицы

,

тогда -матрица  будет иметь вид (13). Все предыдущие рассуждения будут обоснованными, если мы докажем, что векторы (17) линейно независимы. Допустим противное, и пусть  - первый в ряду (17) вектор, линейно зависящий от предыдущих векторов

В силу (16) это равенство может быть переписано так:

т. е.

,

где

Далее, опять в силу (16)

,

где

Продолжая этот, процесс далее и вводя еще векторы

,

мы получим цепочку равенств

       (19)

Из (19) следует, что

  

есть ненулевое решение уравнения (14) степени , что невозможно. Таким образом, векторы (17) линейно независимы.

2. Докажем теперь, что уравнение  не имеет решений степени . Сначала обратим внимание на то, что уравнение , как и уравнение (7), имеет ненулевое решение наименьшей степени . В этом можно убедиться непосредственно, если матричное уравнение  заменить системой обыкновенных уравнений

, откуда  

С другой стороны, если пучок имеет «треугольный» вид (13), то соответствующие этому пучку матрицы  [см. (10) и (10') на стр. 335] после надлежащей перестановки строк и столбцов также могут быть приведены к треугольному виду

                                    (20)

При  все столбцы этой матрицы, а значит, и столбцы матрицы , линейно независимы. Но  - квадратная матрица порядка . Поэтому и в матрице  все столбцы линейно независимы, а это, как было выяснено в начале параграфа, означает, что уравнение  не имеет решений степени , что и требовалось доказать.

3. Заменим пучок (13) строго эквивалентным ему пучком

     (21)

где  - квадратные единичные матрицы соответственно порядков  и, а  - произвольные постоянные прямоугольные матрицы соответствующих размеров. Наша теорема будет полностью доказана, если мы покажем, что матрицы  и  могут быть выбраны так, чтобы имело место матричное равенство

                               (22)

Введем обозначения для элементов матриц ,, а также для строк матрицы  и для столбцов матриц , :

, ,    (; ; ),

, ,

Тогда матричное уравнение (22) можно заменить системой скалярных уравнений, записывая, что элементы -го столбца в левой и правой частях равенства (22) соответственно равны друг другу :

        (23)

В левых частях этих равенств стоят линейные двучлены относительно . Свободный член каждого из первых  этих двучленов равен коэффициенту при  в следующем двучлене. Но тогда и правые части должны удовлетворять этому условию. Поэтому

                                 (24)

Если равенства (24) имеют место, то, очевидно, из (23) можно определить искомые элементы матрицы .

Теперь осталось показать, что система уравнений (24) относительно элементов матрицы   всегда имеет решение при любых  и  (; ). Действительно, матрица, составленная из коэффициентов при неизвестных элементах строк , может быть записана после транспонирования в виде

Но эта матрица является матрицей  для пучка прямоугольных матриц  [см. (10') на стр. 335]. Ранг же этой матрицы равен , поскольку по доказанному уравнение  не имеет решений степени . Таким образом, ранг системы уравнений (24) равен числу уравнений, а такая система при любых свободных членах является совместной (непротиворечивой).

Теорема доказана полностью.